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1、第三章平面与空间直线 3.1 面的方程1 .求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1)通过点Mi(3,1,1)和点M2(1,1,0)且平行于矢量1,0,2的平面(2)通过点Mi(1,5,1)和M2(322)且垂直于xoy坐标面的平面；(3)已知四点A(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与ABC平面垂直的平面。解：(1)M1M22,2,1,又矢量1,0,2平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：4x3y2z70(2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即0,0,1与所求的平面平行，又M1M2
2、2,7,3,平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：7(x1)2(y5)0,即7x2y170。(3) (i)设平面通过直线AB,且平行于直线CDAB4,5,1,CD1,0,2)从而的参数方程为：一般方程为：10x9y5z740。(ii)设平面通过直线AB,且垂直于ABC所在的平面AB4,5,1),ABAC4,5,10,1,14,4,44(1,1,1)均与平行，所以的参数式方程为：一般方程为：2xy3z20.2 .化一般方程为截距式与参数式：:x2yz40.解：与三个坐标轴的交点为：(4,0,0),(02,0),(0,0,4),所以，它的截距式方程为：工Z1.424又与所给平面
3、方程平行的矢量为：4,2,0,4,0,4),所求平面的参数式方程为：3.证明矢量VX,Y,Z平行与平面AxByCzD0的充要条件为：AXBYCZ0.证明：不妨设A0,则平面AxByCzD0的参数式方程为：故其方位矢量为：B,1,0,CQ1,AA从而v平行于平面AxByCzD0的充要条件为：BCv,一,1,0,0,1共面AAAXBYCZ0.4 .已知连接两点A(3,10,5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x4yz10,求B点的z坐标.解：Ab3,2,5z而AB平行于7x4yz10由题3知：(3)724(z5)0从而z18.5 .求下列平面的一般方程.通过点12,1,1和23,2,1且分别
4、平行于三坐标轴的三个平面；过点3,2,4且在x轴和y轴上截距分别为2和3的平面；与平面5xy2z30垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面；已知两点13,1,2,24,2,1,求通过1且垂直于1,2的平面；原点在所求平面上的正射影为2,9,6;求过点13,5,1和24,1,2且垂直于平面x8y3z10的平面.x2y1z1解：平行于x轴的平面方程为1100.即z10.100同理可知平行于y轴，z轴的平面的方程分别为z10,xy10.设该平面的截距式方程为三工二1,把点3,2,4代入得c丝219故一般方程为12x8y19z240.若所求平面经过X轴，则0,0,0为平面内一个点5,1,2和1,0,0为所
5、求平面的方位矢量,x0y0z0点法式方程为5120100一般方程为2yz0.同理经过y轴，z轴的平面的一般方程分别为2x5z0,x5y0.121,1,3.12垂直于平面该平面的法向量n1,1,3，平面通过点13,1,2,因此平面的点位式方程为x3y13z20.化简得xy3z20.0.(5)op2,9,6.29cos,cos,cos1111则该平面的法式方程为：2x116_11y116一z11110.1,6,1，点从 4,1,226,2,C14,D26 4 2 2874,则一般方程Ax By Cz D0,即：13x y 7z 37 0.既2x9y6z1210.(6)平面x8y3z10的法向量为n
6、1,8,3,M2x4y1z2写出平面的点位式方程为1831616.将下列平面的一般方程化为法式方程。解：D3.将已知的一般方程乘上.得法式方程x=30-302y5z33030-301.1，一，、一二.将已知的一般方程乘上2X1,2x2.1.将已知的一般方程乘上1.得法式方程x20.0.般方程乘上1,、41得法式方程为T9949y49y0.7.求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解:.D1,，、35.1.化为法式方程为737y0原点指向平面的单位法矢量6,它的方向余弦为cos72,cos73,cos76.原点o到平面的距离为75.2.D21.3.化为法式方程为-
7、23y70原点指向平面的单位法矢量为n2、，、2，它的方向余弦为3cos1一,cos32一,cos32一_一一,原点o到平面的距37.20页8.已知三角形顶点A0,7,0,B2,1,1,C2,2,2.求平行于VABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。解：uuur设ABruuura,ACrb点A0,7,0r.则ar2,6,1,b2,9,2写出平面的点位式方程设一般方程AxByCzD0.A3.B2,C6,D140.2.相距为2个单位。则当p28.当p0时D0.所求平面为3x2y6z280.和3x2y6z0.9.求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴ox,oy与oz上的截距之比为a:b:c1:
8、3:2的平面。解：设ax,b3x,c2x.Qabc0.设平面的截距方程为-1.abc即bcxacyabzabc.又Q原点到此平面的距离d6.,虫6.,22222,22,bcacabx1所求方程为x-z7.3210 .平面xy-1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求VABC的面积abca,0, cuur解A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)ABa,b,0,uuruuruuuuuurABACbc,ca,ab;ABACVb2c2c M (1,2, 3),: 5x 3y z 4 0.解：将的方程法式化，得：21- x - y332 故离差为：(M) (一)(2)3M至IJ的距离d (M
9、 )(2)类似(1),可求得a2a2b2.SVABC=Jb2c2c2a2a2b2211 .设从坐标原点到平面的距离为。求证证明：由题知:从而有工工J；.2222pabc 3.2 面与点的相关位置1 .计算下列点和平面间的离差和距离：(M)5633535354350,(1) M(2,4,3),:2xy2z30；MU 的距离d (M)2 .求下列各点的坐标：0.(1)在y轴上且到平面2 2y 2z 2 0的距离等于4个单位的点；(2)在z轴上且到点M(1, 2,0)与到平面3x 2y 6z 9 0距离相等的点；(3)在x轴上且到平面12x 16y 15z 1 0和2x 2y z 1 0距离相等的点
10、。解：(1)设要求的点为M (0, y0,0)则由题意y。1 6 y。5 或 7.即所求的点为(0,-5, 0)及(0, 7, 0)。(2)设所求的点为(0,0,Z0)则由题意知：由此，Z02 或-82/13。故，要求的点为(0,0, 2)及(0,0, 82)。13(3)设所求的点为(x0,0,0),由题意知:由此解得：x0 2或11/43所求点即(2, 0, 0)及(11/43, 0, 0)。3 .已知四面体的四个顶点为 S(0,6,4), A(3,5,3),B( 2,11, 5),C(1, 1,4),计算从顶点ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：S向底面所以，高h3。4 .求中心在C(
11、3, 5,2)且与平面2x y 3z 11 0相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面2x y 3z 11 0的距离，它为:2 3 5 6 112814142714 ,所以，要求的球面的方程为:(x3)2(y5)2(z2)256.即：x2y2z26x10y4z180.5 .求通过x轴其与点M5,4,13相距8个单位的平面方程。解：设通过X轴的平面为ByCz0.它与点M5,4,13相距8个单位，从而4B13CI2218.48B2104BC105C20.因此12B35C4B3C0.从而得12B35C0或4B3C0.于是有B:C35:12或B:C3:4.所求平面为35y12z0或3y4z0.6 .求
12、与下列各对平面距离相等的点的轨迹. 3x 6y 2z 70和4x3y0;9x y2z 140和9x2z6 0.解：6y 2z7- 4x 3y5化简整理可得：13x 51y 10z0 与 43x 9y10z 70 0.对应项系数相同，可求D1D2214 6 ，一、4,从而直接写出所求的方6y2z程：9xy2z40.9判别点M (2 -1 1 )和N(12 -3 ）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内,还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内?(1)1:3xy2z30与2:x2y(2) 1:2x y 5z 10与 2: 3x 2y6z 1 0解：(1)将 M (2 -1 1),N (12 -3）
13、代入1,得:6 1 2 303 2 6 3 0则MN在1的异侧再代入2,得：1MN&2的同侧MNt相邻二面角内(2)将M(2-11)N(12-3)代入1,得:4 15 1 9 02 2 15 18 0则MNft1的异侧再代入662113034181200则MNS2的异侧MN在对顶的二面角内10试求由平面1:2xy2z30与2：3x2y6z10所成的二面角的角平分方程,在此二面角内有点(1,2,-3)解：设p(xyz)为二面角的角平分面上的点，点p到12的距离相等2xy2z33x2y6z15x3y32z190(1)方22132226123xy4z240(2)把点p代入到12上，1020在(1)上取点(1800)代入12,1020。5在(2)上取点(00-6)代入12,1020(2)为所求，解平面的方程为：3xy4z2403.31 .判别下列各对直线的相关位置：(1) x2y4z10与二yz42(2) 2xy2z50与x3yz(3) 6x2y4z50与9x3y11解：(
