勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 3. 勾股数：①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形2）有两个角互余的三角形是直角三角形3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）5.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 ∠A=30° 可表示如下： BC =AB ∠C=90° （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： CD =AB = BD = AD D为AB的中点 6.数轴上表示无理数第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数勾股定理专项练习一、基本应用考点1：勾股定理1.下列是勾股数的一组是（D）A.4,5,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,352.△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列各等式中成立的是（）A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为60cm2. 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90º，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( C )A.12cm B. C. D.6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6，8，10．7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+=0，则第三边的长为5或7.8.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为．10.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为．11.如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式S1+S2=S3．12.（易错题）如图，已知在Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于2π．13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2。
第4题第11题 第12题第13题14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8, 求aa=15）（2）已知a∶b=1∶2，c=5, 求aa=5）（3）已知b=15，∠A=30°，求a，ca=53，c=103）15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求nn=2）16.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积S=96）考点2.勾股定理逆定理1.以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_________，能构成直角三角形的是_________．（填序号）①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，242.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ D ）A.a=9，b=41，c=40 B.a=b=5，c=C.a∶b∶c=3∶4∶5 D.a=11，b=12，c=153.若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ D ）A．42 B．52 C．7 D．52或74.下列说法不正确的是（B）A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形5.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ C ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形6.有下列说法：①若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；②在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a2+b2＞c2，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b2+c2=a2，则∠C=900；④在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C≠900，则a2+b2≠c2。
其中正确的是（D ）A.①②③ B.②③④ C.②④ D.④7.下列说法中正确的有（ ）①如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；②如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；④如果三边长分别是n2-1，2n，n2+1（n＞1），则△ABC是直角三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.若+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是 直角 三角形.9.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式 +（b-18）2+=0则△ABC是三角形10.已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴△ABC是直角三角形.问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:③(2)错误的原因为除数可能为零;11.已知△ABC的三边为a、b、c，且，求三角形三个内角度数的比（∠A：∠B：∠C=1:1：:2）12.△ABC的三边a、b、c满足．试判断△ABC的形状．（直角三角形）13.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
（直角三角形）14.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．（直角三角形）15.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？（6；8；10；直角三角形）16.若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0考点3.数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）1.用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法2.在数轴上画出表示的点？3.在数轴上作出表示3-的点考点4:勾股定理几何应用1.如图在矩形ABCD中,M是CD中点，AB=8，AD=3．（1）求AM的长；（2）△MAB是直角三角形吗？为什么？（AM=5；不是直角三角形）2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，若AD=8，BD=2，求CD．（CD=4）3.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。
EF=3）4.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.（S=234）5.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积S=36）6.如图，在四边形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,∠C=90°(1)求BD的长;（BD=5）(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?（AD=13）7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD，他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积S=13800）8.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．（二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：1.一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动0.8米2.如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离51-1米3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为12米4.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是18。
第1题 第2题第4题5.如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？（1.66）②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．（0.58）6.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?（不等于1，小于1）2. 爬行距离最短问题：1.如图，正方体盒子的棱长为2，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬。