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1、32+42=23高考圆的方程典型例题例1圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线l、l的方程，从代数计算中寻找解答12解法一：圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为O(3,3)，半径r=31设圆心O到直线3x+4y-11=0的距离为d，则d=33+43-111如图，在圆心O同侧，与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线l与圆有两个交点，这两个交11点符合题意32+42=1，又r-d=3-2=1与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3个解法二：符合题意的点是平行于
2、直线3x+4y-11=0，且与之距离为1的直线和圆的交点设所求直线为3x+4y+m=0，则d=m+11m+11=5，即m=-6，或m=-16，也即33l：x+4y-6=0，或l：x+4y-16=012(x设圆O：-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线l、l的距离为d、d，则1121232+42=3，d=d=33+43-61233+43-1632+42=132+42=23l与O相切，与圆O有一个公共点；l与圆O相交，与圆O有两个公共点即符合题意的点共3111211个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心O到直线3x+4y-11=0的距离为d，则d=33+43-111高中教育高考圆O到
3、3x+4y-11=0距离为1的点有两个1显然，上述误解中的d是圆心到直线3x+4y-11=0的距离，dr点P在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例4圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个-分析：把x2+y2+2x+4y-3=0化为(x+1)2+(y+2)2=8，圆心为(-1，2)，半径为r=22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于
4、2，所以选C-(x例5过点P(-3，4)作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C：-1)2+(y+2)2=4有公共点，如图所示分析：观察动画演示，分析思路解：设直线l的方程为yy+4=k(x+3)即Okx-y+3k-4=0根据dr有Exk+2+3k-41+k22P整理得3k2-4k=0解得0k431+k2=24例6已知圆O：x2+y2=4，求过点P(2，)与圆O相切的切线4解：点P(2，)不在圆O上，切线PT的直线方程可设为y=k(x-2)+4根据d=r-2k+4高中教育高考解得k=34所以y=3(x-2)+44即3x-4y+10=0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在
5、易求另一条切线为x=2说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）还可以运用xx+yy=r2，求出切点坐标x、y的值来解决，此时没有漏解00003例7自点A(-3，)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切yM（1）求光线l和反射光线所在的直线方程（2）光线自A到切点所经过的路程AC分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点A-的对称点A的坐标为(-3，3)，其次设过A的圆C的切线方程为Ny=k(x+3)-3GOBxk=4
6、根据d=r，即求出圆C的切线的斜率为3或k=34A进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x-3y+3=0或3x-4y-3=0最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0图光路的距离为AM，可由勾股定理求得AM2=AC2-CM2=7说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解例8如图所示，已知圆O：x2+y2=4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y=2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求DABC垂心H的轨迹高中教育高考分析：按常规求轨迹的方法，设H(x,y)，找x,y的关系非常难由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系解
7、：设H(x,y)，C(x,y)，连结AH，CH，则AHBC，CHAB，BC是切线OCBC，所以OC/AH，CH/OA，OA=OC，所以四边形AOCH是菱形y=y-2,所以CH=OA=2，得x=x.又C(x,y)满足x2+y2=4，所以x2+(y-2)2=4(x0)即是所求轨迹方程说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法例9求半径为4，与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解(x解：则题意，设所求圆的方程为圆C：-a)2+(y-b)2=r2圆C与直线y=0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C(a,4)或C(a,-4)12又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3若两圆相切，则CA=4+3=7或CA=4-3=1(1)当C(a,
