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1、福建师范大学21春常微分方程在线作业一满分答案1. 甲、乙两人同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_甲、乙两人同时向一敌机射击，已知甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.5，求敌机被击中的概率_0.82. 设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)的值，其中A*是A的伴随矩阵设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)的值，其中A*是A的伴随矩阵因A的特征值为1，3，5，所以A可逆，且detA=15，于是A*的特征值依次为， 所以A*-2E的特征值为15-2=13，5-2=3，3-2=1，
2、因此det(A*-2E)=1331=39 3. 已知是全微分表达式则a=( ) (A) -1 (B)0 (C) 1 (D) 2已知是全微分表达式则a=()(A)-1(B)0(C)1(D)2D用凑全微分法：由于分母是x+y的平方，故分子应凑为(x+y)及d(x+y)的形式为此考察 (x+2y)dx+ydy=(x+y)d(x+y)+yd(x+y)-(x+y)dy与(x+y)-2恰好构成全微分： 因此a=2 解2 用即可得a=2 解3 用待定系数法，原函数必为的形式，作全微分得 比较得A=1(B=0，C=-1)，因而a=2 4. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设在0，1上f(x)0，
3、则f&39;(0)，f&39;(1)，f(1)f(0)选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：设在0，1上f(x)0，则f(0)，f(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为()(A) f(1)f(0)f(1)-f(0)(B) f(1)f(1)-f(0)f(0)(C) f(1)-f(0)f(1)f(0)(D) f(1)f(0)-f(1)f(0)B5. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有证法1设 则
4、F(x)在0，1上可导，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)-g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少 注意到 而故F(1)=0 因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任何a0，1，有 证法2 因为所以 又由于x0，1时，f(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1 又由题设，当x0，1时，有g(x)0，所以 f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1于是 从而 注 在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这
5、一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下： 由积分中值定理知，存在a，1，使 一般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 6. 函数y=tan2x+cosx是一个非奇非偶的周期函数。( )A.正确B.错误参考答案：A7. 求y3y&39;4y=0满足初始条件y(0
6、)=1，y&39;(0)=1的特解。求y-3y-4y=0满足初始条件y(0)=1，y(0)=1的特解。答案：8. 求方程(ex+3y2)dx+2xydy=0的通解求方程(ex+3y2)dx+2xydy=0的通解将原方程化为 exdx+3y2dx+2xydy=0 x2exdx+d(x3y2)=0 故 x3y2+x2ex-2xex+2ex=C以x2 乘上3y2dz+2xydy即得d(x3y2)， 而x2exdx总是个微分项 9. 下面的函数哪些是一对一函数，哪些是一一对应函数： (1)f：NR，其中f(n)=log10n+1； (2)f：NR，其中 (3)f：RR下面的函数哪些是一对一函数，哪些是
7、一一对应函数：(1)f：NR，其中f(n)=log10n+1；(2)f：NR，其中(3)f：RR，其中f(r)=2r+15(1)(2)是一对一函数，(3)是一一对应函数 本题要注意定义域和值域各自的范围 10. 设函数f(x)=x+1，当0xA.跳跃间断点B.可去间断点C.连续但不可导点D.可导点参考答案：C11. 若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_F(ax+b)+C12. 设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证(如图所示)因为 ，
8、 以上各式相加得 由于2，所以 13. f(x)=0(当x=0) 1(当x0)则( )A.x-0，limf(x)不存在B.x-0，lim1/f(x)不存在C.x-0，limf(x)=1D.x-0，limf(x)=0参考答案：C14. 下列关于导数的结论正确的是( )。A.两个函数的和的导数等于两个函数导数的和B.两个函数的差的导数等于两个函数导数的差C.反函数的导数等于原来函数导数的倒数D.两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数参考答案：ABCD15. 已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获
9、得一个就业机会?已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?用A表示求职n次至少有一次获得一个就业机会，则表示求职n次没有获得任何就业机会，依题意，即1-(1-0.4)n0.9，解之得n4.5所以至少要求职5次，才能有90%的把握获得一个就业机会16. 设S2是来自正态总体XN(，2)的随机样本(X1，X2，Xn)的方差，2是未知参数，试问a，b(0ab)满足什么条件，才设S2是来自正态总体XN(，2)的随机样本(X1，X2，Xn)的方差，2是未知参数，试问a，b(0ab)满足什么条件，才能使2的95%的置信区间的长度最短?，其概率
10、密度为 记u的分布函数为F(x)，则 而2的置信区间的长度为 (2) 而式(1)右端可见a，b之间存在隐函数关系，不妨设b是a的函数，从而由式(2)，L是a 的函数，为使L达到最小值，必须 即 b2=a2b (3) 式(1)两边关于a求导，并注意F(x)=F(x)0(x0)得F(b)b-F(a)=0，即 f(b)b-f(a)=0， 所以 (4) 将式(4)代入式(3)得 17. 设,点到集合E的距离定义为 . 证明：(1) 若E是闭集，,则(x,E)0; (2) 若是E连同其全体取点所组成的集合(称设,点到集合E的距离定义为.证明：(1) 若E是闭集，,则(x,E)0;(2) 若是E连同其全体
11、取点所组成的集合(称为E的闭包)，则.18. 如果df(x)=dg(x)，则必有( )。A.f(x)=g(x)B.df(x)=dg(x)C.f(x)=g(x)D.df(x)dx=dg(x)dx参考答案：ABD19. 试证明： 设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(试证明：设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(x)的充分且必要条件是：证明 必要性 依题设知，对任给0，/2，存在N，使得 m(xE:|fk(x)-f(x)|)/2 (
12、kN). 从而得+m(xE：|fk(x)-f(x)|)(kN)对取下确界更成立，再令k也然，由此即得所证 充分性 记Ek()=xE：|fk(x)-f(x)|，由假设知，对任给0，存在N，当kN时有从而对每个k：kN，可取k0，使得k+m(Ek(k)，自然有k(kN).现在令，则(kN)因此，对任给0，0，存在N，使得 m(xE：|fk(x)-f(x)|) (kN) 这说明fk(x)在E上依测度收敛于f(x) 20. 设函数，试问当a、b为何值时，f(x)为可导函数，并写出导函数f&39;(x)设函数，试问当a、b为何值时，f(x)为可导函数，并写出导函数f(x)a=2，b=1，21. 设向量组1，2，3线性无关，则12，23，31也线性无关设向量组1，2，3线性无关，则1+2，2+3，3+1也线性无关22. 极值点一定包含在区间的内部驻点或导数不存在的点之中。( )A.正确B.错误参考答案：A23. y+4y&39;+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )y+4y+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式()正确24. 设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f(0)=( )A.0B.1C.3D.2参考答案：C25. 测定预测误差的统计指标主要有( )。 A总预测误差 B平均绝对误差 C相对误
