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1、-课程名称：数学建模与数学实验学 院： 专 业： 姓 名：学 号: 指导教师：利用方法模拟单效劳台排队系统和多效劳台排队系统摘要蒙特卡罗方法Monte Carlo又称统计模拟法随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为根底的一种计算方法，是使用随机数或更常见的伪随机数来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。本文通过两个具体的效劳机构为例，分别说明如何利用蒙特卡洛方法模拟单效劳台排队系统和多效劳台排队系统。单效劳台排队系统排队模型之港口系统：通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时
2、间和效劳时间的计算机拟合，将根本模型确定在排队模型，通过对此根本模型的分析和改良，在概率论相关理论的根底之上使用计算机模拟仿真蒙特卡洛法对生产系统的整个运行过程进展模拟，得出最后的结论。多效劳台排队系统开水供给模型：为了解决水房打水时的拥挤问题。根据相关数据和假设推导，最终建立了多效劳窗排队M/G/n模型，用极大似然估计和排队论等方法对其进展了求解，并用Matlab软件对数据进展了处理和绘图。用灵敏度分析对结果进展了验证。本模型比拟完美地解决了水房排队拥挤问题，而且经过简单的修改，它可以用于很多类似的排队问题。 关键词：蒙特卡洛方法，排队论，拟合优度，泊松流，灵敏度分析。一、问题重述港口排队系
3、统：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。开水供给系统：学院开水房的供水时间有限，水房面积有限，水管易受水垢堵塞。根据调查数据可知：通畅时几乎无人排队，堵塞时水房十分拥挤。由此可以看出水房设计存在问题，我们可以把开水房看成是一个随即效劳系统，应用排队论的方法对系统运行状态做定量的描述。二、根本假设港口排队系统：通过对问题的重述，则，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？假设一艘船只的等待时间是从到到达开场卸货的时间，每艘船只的平均
4、等待时间和最长等待时间是多少？卸货设备空闲时间的百分比是多少？船只排队最长的长度是多少？开水供给系统：假设、顾客流满足参数为的Poisson分布，其中为单位时间到达的顾客平均数。每个顾客所需的效劳时间相互独立，顾客流是无限的，在观测期间平稳。假设、排队方式为单一队列的等候制，先到先效劳。虽然水房有多个效劳台，每个效劳台都有自己的队列，但同时顾客总是自由转移到最短的队列上，不可能出现有顾客排队而效劳器空闲的情况。本文最后对两种排队方式的比拟也说明这一假设是合理的。假设、水房共有20个并联的效劳台水龙头，设每个效劳台的效劳时间服从*个一样的分布，t和分别是效劳时间的均值和均方差，=/ t为偏离系数
5、。由于锅炉及输水管容量的限制，使t依赖于正在进展效劳的水龙头个数m，设此时平均效劳时间t(m)。且存在一临界值当mm0时，管道中的水便分给 m 个龙头流出，从而 t(m) t0,且 t(m)是 m 的单增函数。假设、污垢的积累与时间成线性变化，设为f(*)=kT(k0,表示污垢积累速率；T为距上次清理污垢时间间隔。假设、单位时间为 10 秒。显然，假设、都是合理的，对假设 进展拟合优度检验，得出假设也是合理的。三、符号约定开水供给系统用到的符号和参数：L 系统顾客数的期望值；Lq系统排队顾客数的数学期望；W 顾客在系统的平均逗留时间；Wq顾客排队等待时间的期望；P0系统有效劳台空闲的概率；=t
6、 /n系统的效劳强度即用水龙头的程度；n水龙头的个数。Wq的上限值Po的上限值四、问题分析港口排队系统：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机效劳系统工作过程的数学理论和方法，又称随机效劳系统理论，为运筹学的一个分支。此题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做效劳系统。：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示效劳时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。排队论研究的根本问题1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队
7、理论进展研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营动态优化。为了得到一些合理的答案，利用计算器或可编程计算器来模拟港口的活动。假定相邻两艘船到达的时间间隔和每艘船只卸货的时间区间分布，参加两艘船到达的时间间隔可以是15到145之间的任何数，且这个区间的任何整数等可能的出现。再给出模拟这个系统的一般算法之间，考虑有5艘传至的假象情况。对每艘船只有以下数据：船1船2船3船4船5相邻两艘船到达的时间间隔20301512025卸货时间5545607580因为
8、船1在时钟于t=0分钟计时开场后20分钟到达，所以港口卸货设备在开场时空空闲了20分钟。船1立即开场卸货，卸货用时55分，其间，船2在时钟开场计时后t=20+30=50分中到达。在船1与t=20+55=75分钟卸货完毕之前，船2不能开场卸货，这意味着船2在卸货前必须等待75-50=25分钟。在船2开场卸货之前，船2于t=50+15=65分钟到达，因为船2在t=75分钟开场卸货，并且卸货需45分钟，所以在船2与t=75+45=120分钟卸货完毕之前，船3不能开场卸货。这样，船3必须等待120分钟。船4在t=65+120=185分钟之前没有到达，因此船3已经在t=120+60=180分钟卸货完毕，
9、港口卸货设备空闲185-180=5分钟，并且，船4到达后立即卸货。最后，在船4于t=185+75=260分钟卸货完毕之前，船5在t=185+25=210到达，于是船5在开场卸货前等待260-210=50分钟。五、模型的建立和求解港口排队系统：对于问题中存在的效劳系统，建立排队论模型，在仅能为一艘船通过是一个标准的模型：所谓模型，就是输入过程为泊松流时，效劳时间为任意的条件之下的，效劳机器只有一个得时候。对于模型，效劳时间T的分布式一般的，但是要求期望值和方差都存在，其他条件和标准的型一样。为了到达稳态还是必要的，其中有。单效劳台单队系统 船只到达进入队列效劳台承受效劳船只离去单效劳员的排队模型
10、设：1 船只到来间隔时间服从参数为0.1的指数分布2 对船只的效劳时间服从，上的均匀分布3 排队按先到先效劳规则，队长无限制系统的假设：1 船只源是无穷的；2 排队的长度没有限制；3 到达系统的船只按先后顺序依次进入效劳， 即“先到先效劳。符号说明w：总等待时间；ci：第i个顾客的到达时刻；bi：第i个顾客开场效劳时刻；ei：第i个顾客效劳完毕时刻；*i：第i-1个顾客与第i个顾客之间到达的间隔时间；yi：对第i个顾客的效劳时间ci=ci-1+ *iei=bi+yibi=ma*(ci,ei-1)模拟框图初始化：令i=1，ei-1=0，w=0产生间隔时间随机数*i参数为0.1的指数分布ci=*i
11、 , bi=*i 产生效劳时间随机数yi4,15的均匀分布ei=bi+yi累计等待时间：w=w+bi-ci准备下一次效劳：i=i+1产生间隔时间随机数*i参数为0.1的指数分布ci=ci-1+ *i 确定开场效劳时间：bi=ma*(ci,ei-1)bi480YNi=i-1,t=w/i输出结果：完成效劳个数：m=i 平均等待时间：t 停顿开水供给模型：由假设、可知，假设 n时,则 n个效劳台是相互独立，服从一样分布，即是一个 M/G/n型排队模型。如果则相当于效劳台之间可以相互帮助的效劳系统，平均效劳时间 t为正在效劳的效劳台数 m的函数。考虑一简单情形：当 m 时，t(m)=;当 mn时，t(
12、m)= ，此时 m个效劳员以的速率进展效劳，但总的效劳速率总是即n时的系统实际相当于M/G/的排队模型。首先得求出临界效劳台数 ,设水龙头及输出管直径分别为;水的流速为v,从而由的含义知： 1-2即。由实际估测， =6.5cm,=1.3cm.于是20=n,因此现有的水房系统服从M/G/20的排队模型。; 1-3; 1-4; 1-5 1-6L=； 1-7Wq=L/. 1-8另外公式中要求r1,否则系统永远不能到稳定状态，排队的人越来越多，即队长将趋于无穷大。对水房系统，l=2.17,n=20, 当管道通畅时，=7.58,=3.45,r=0.82241,水房爆满，进一步分析以了解拥挤情况，拥挤原因
13、以及缓解的方法。六、模型的检验与评价港口排队系统：表1 100艘船港口和系统的模拟结果一艘船呆在港口的平均时间977978818599一艘船呆在港口的最长时间174121111141140159一艘船的平均等待时间238591224一艘船的最长等待时间994633646893卸货设备空闲时间的百分比0.0670.0790.0930.070.0690.028上图为一艘船呆在港口的平均时间上图为一艘船呆在港口的最长时间一艘船的平均等待时间上图为一艘船的最长等待时间上图为一艘船的最长等待时间以上就是对港口问题的具体分析，其实港口问题还可以从船只的排队角度出发，我们还可以对多个港口通行做相应的模拟试验，让船主尽量减少等待时间且港口卸货设备的利用率到达最高，从而是港口的主人获得更大的利润。从排队角度来解决问题，可以使问题的广度增加，选秘书问题就是一个很典型的例子，可以从排队角度解决，如果用我在文章中应用的方法来解决也是可以的， 这仅仅是一个港口的小问题，甚至可以说是一个非常简单的问题，但是已经让我感觉到了数学的美，在教师的引导下慢慢接近一种抽象的美，在写论文的这几天中，数据的整理和分析是最值得享受的时刻，在E*cel里输入自己的数据，是一种忐忑的感觉，因为在则多的数据面前，我真的不知道将会发生什
