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1、第五章 连通性普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：例：设E 2的一个子集(曲线)有A, B两部分构成，其中A = (x,sin 1) |x e (0,1)xb = (0, y) |-1 y 1如右图，细线为A，粗线为B，我们很难判断它们是否连通的。有两种描述图形连通的方法：1) 、利用集合是否相交来判定；2) 、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。 前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。在上例中， X 是连通的，但是，不是道路连通的。5-1连通空间先看一个例子：考虑R上的两个子集(0,1)与1,2)。它
2、们是不交的，(即交为空集)。但是，它们的并为(0,2)却 构成了一个“整体”；而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。原因是： (0,1)的一个聚点1，属于1,2)，而不属于(1,2)。为此，给出一个“分离”的概念。定义1设A和B是拓扑空间X的两个非空子集，如果A c B = 0与A c B = 0，则称A与B 是分离的。定义2 称拓扑空间 X 是连通的，如果 X 不能表示为两个非空分离集合的并。显然，连通与下面几种说法是等价的。 X 不能分解为两个非空不相交开集的并； X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； X 没有既开又闭的非空真子集； X 中只有 X 和 0 是既开
3、又闭的。 上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。例1(1)(R,T f )是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。(2) 双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。(3) E1空间是连通的。结论(3)是明显的。但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性， 所以，Ei常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证明一下。证明的思路：Ei中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则Ei是连通的。以下是证明：不妨设A是Ei的非空真闭集，于是只要证明A不会是开集。设A的下确界为a，上确界为b。因为A是闭集，则有a e A,b e A。又设x电A，不妨假定
4、x b情形可作类似的讨论)，由于(x,a) n A = 0，即a不 是A的内点，从而A不是开集。证毕。下面讨论连通空间的性质。定理 1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。证明：设X连通，f : X T Y连续，我们要证明f (X)也连通。不妨设f (X) = Y (否则也可以考虑f : X T f (X)。又设B是Y的既开又闭的非空子集，则 f -i(B)是X的既开又闭的子集(这是根据连续映射的性质)。又由于f-i(B)非空，并且X是连通的，故只要f -i(B) = X (不可能为0)，因为映射是满射， 从而B = Y，这说明Y的既开又闭的非空子集只能有Y。于是，Y是连通的。例2单位圆S1是
5、连通的。因为Ei是连通的，且有映射f： Ei T Si, f (x) = ei2兀x，有f (Ei) = Si。例3设A u Ei，则A连通o A是区间。例3可作为定理1的推论。推论 1 连通空间上的连续函数取到一切中间值(即，象集是区间)。事实上，这个推论适于R上的映射，而对于其他的拓扑空间，应该有“序”的概念。所以只作 理解即可。即，设X连通，f : X T Ei，根据例3。推论立证。引理1若B是X的既开又闭子集，A是X的连通子集，则或者AnB = 0，或者A u B。证明：显然AnB u A。由于A是连通的，则A不可能存在既开又闭的子集AnB，则要么 AnB = 0，要么AnB = A，
6、即AuB。定理2若有一个连通的稠密子集X，则X连通。证明：思路：证明X的既开又闭子集只有X和0。设A是X的连通稠密子集，且B是X的既开又闭子集。如果B鼻0，则必有A n B鼻0。由 引理1,有A u B。于是，X = A u B = B，从而B = X。因此，X的既开又闭子集只有X和0。推论2若A是X的连通子集，且A u Y u A，则Y连通。注释：这是因为A是Y的稠密子集，由定理2,立得推论。下面的定理给出判断连通性的一个常用法则。U1U2u3u4u5ydA定理3如果X有一个连通覆盖U (即U中每个成员都是连通的)，并且X有一连通子集A, A与u中每个成员都相交，则X连通。定理意义的解释：U
7、中每个成员都是连通集，它们构成X的 覆盖，它们之间不一定都有交，但是存在一个X的子集A，A与 它们都相交。证明：证明思路：X的既开又闭子集只有X和0。设B是X的既开又闭子集，A是X的一连通子集。根据引理1,要么AcB = 0，要么 A u B。如果AcB = 0，则VUe U，因UcA鼻0，所以U B，并且由引理，必有UcB = 0 (注： U 是连通子集)，则B=(U U)cB= U (U cB)=0U eUU eU又，如果A u B，则VU e U，U c B二U c A鼻0，由引理，必有U u B，贝ijU U u BU U = X，故有X u B，即 X = Bo又UeU证毕。X例4我
8、们可以利用定理3的方法去证明E2是连通的。记B = (x,y) y e Ei，显然，E2 = U B。xxeE1即B 是E2的覆盖，而Vx，B是连通的(. Ei连通)x xe E ix故B 是E2的连通覆盖。x xeE1记 A = (x,0) |x e E1，则 A 连通，Vx, A c B =0。由定理 3 知，E2 连通。 利用归纳法，可以证明En连通。定理4连通性是可乘的。证明：设X, Y都是连通空间，则X xy|y e Y是X xY的连通覆盖。取x e X，则xx Y 连通，且与每个X xy都相交。由定理3知，X x Y连通。证毕。5-2 连通分支与局部连通空间连通分支是研究不连通空间
9、时引出的一个概念。定义3拓扑空间X的一个子集称为X的连通分支，如果它是连通的，并且不是X其他连通子 集的真子集。注释：说A是X的一个连通分支，即，若X的子集B二A，且B丰A，则B 一定不连通。也就是说，连通分支是极大连通子集。如果X是连通的，则它只有一个连通分支，即X自身。命题1连通分支是闭集。证明：设A是X的一个连通分支，由定理2, A也是连通的。由A的极大性推出A = A。因 此， A 是闭集。例如，在Ei中，（a,b）区间是连通的，则a,b也是连通的。定义4拓扑空间X称为局部连通的，如果Vx e X， x的所有连通邻域构成x的邻域基。注释：关于“局部连通的”有多种定义表达形式。 粗略地说
10、：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小”的连通邻域。“对于x e X , x的每一个邻域U，存在x的一个连通邻域V，使得V u U，此时称x处局部 连通的；如果X的每一点x都是局部连通的，称X是局部连通的”这一解释可以从定义4直接推出。连通与局部连通的关系：（1）局部连通的空间不一定是连通的。例如，R的子空间-1,0） u（0,1是不连通的，但它是局部连通的。（2）连通的空间未必是局部连通的。例如，设是R2的子空间：X = AuB，其中 A = （x,y） x = 0,-1 y 1B 二(x, y)10 x 1,y = sinx这里X被称为“拓扑学家的正弦曲线”事实上，可以看出 X = B。
11、因为，B是在连续映射f （x） = （xsin1）下的区间（0,1的象，故B是连通的。x又X = B （即A是B的极限点或称聚点集合），故X也是连通的。而X在A的每一点p处都 不是局部连通的，因而，X不是局部连通的。命题 2 局部连通空间的连通分支是开集。证明：设X局部连通，A是X的一个连通分支，Vx e A，x有一连通邻域V使得V u A，所 以 x 是 A 的内点。因此， A 为开集。5-3 道路连通性（弧连通性）一、关于道路（或弧）的概念道路是“曲线”概念的抽象化。曲线可以看作点的运动轨迹。如果将运动的起点、终点时刻分别记为0和 1，则运动就是闭区 间0,1到空间的一个连续映射，曲线就是
12、这个映射的象。 拓扑学中把这个连续映射称作道路或弧。定义5设X为拓扑空间，从闭区间0,1到X的一个连续映射f :0,1 T X称为X中连接点 f (0)到f (1)的弧或道路。f (0)和f (1)分别称为道路f的起点和终点(统称端点)。注释：道路或弧是指映射f,而不是它的象。象集f(0,1)是X中的曲线。两者不是同一个 概念，有区别。定义6对于X中任意两点x, y,都存在X中的道路f :0,1 t X , f (0) = x, f=y,则 称 X 为道路连通的。例：E1是道路连通的。因为对于任意x, y g E1，定义道路f : 0,1 t E1, f (t) = x + (y - x) -
13、1，t g 0,1 E1 中任一区间也是道路连通的。定理5若则X 一定是连通的。证明：设X是道路连通的，Vx, x g X，则有X中的道路f,使得f (0)二x , f(l)= x于0 1 0 1是x ,x在X的同一连通子集f (0,1)中，从而它们属于同一连通分支。01由于x , x的任意性，故X只有一个连通分支，即X连通。01 注：定理 5 说明：道路连通=连通， 但是连通(未必)道路连通例如，在前面讨论过的例子中，R2中图形y = sin!,(0 x 1)记为B，Y上闭区间-1,1记x为A。我们知道X = A u B = B，且B是连通的，则B也是连通的(即X连通)。 但是，A中任一点与
14、B中任一点不能用道路连接，即X不是道路连通的。定理 6 道路连通空间的连续映象是道路连通的。证明：设 X 是道路连通的，f : X t y 连续，Vy ,y g f (X)，取 x g f -1(y ), x g f -1(y )。0 1 0 0 1 1由于X道路连通，故有道路F，使得F(i)二x ,i二0,1，于是f oF是f (X)中的道路，且if oF(i)二y , i二0,1。这即证明了 f (X)是道路连通的。i二、道路连通分支在拓扑学中规定它的点之间的一个关系：若点x与y可用X上的道路连接，则说与y相关，记做x : y (弧连通的)。 可以证明,是一个等价关系。定义7拓扑空间X在等
15、价关系下分成的等价类，称为X是道路连通分支，简称道路分支。 根据定义 7,下面的结论是显然的：(1) Vxg X , x 仅属于 X 的某一个(唯一的)道路分支。(2) X 的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。(3) X是道路连通的O 它只有一个道路分支。(4) 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。（一）关于流形概念球面、环面以及我们所熟悉的其它曲面，它们往往比平面复杂得多。但是，从局部上分析，有些曲面上的每一点近旁都有一块区域同胚与平面。具有这种局部欧氐 特性的拓扑空间成为流形。定义1 一个Hausdoff空间X称为n维（拓扑）流形，如果X的任一点都有一个同胚于En的 开邻域。二维流形称为曲面。如E2，S2 （球面），T2 （环面），平面和M bius带都是曲面。 没有边界点（全是内点）的紧致连通曲面称为
