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1、在数列教学中培养学生的创新意识广州市第八十七中学袁忠民【摘要】：在数列课堂教学中，通过培养学习兴趣、敏锐的观察力、丰富的想象力，从而训练学生的创新思维，体验创新的成功乐趣，达到培养学生的创新意识的目的.【关键词】：创新意识 数列 观察力 猜想变式基于数学的学科特点，基于中学数学的教学实践，想要学生通过创新思维得到前人没有的数学发现，或者解决数学界困扰众多数学家的世界难题，无疑是一种不可能完成的任务.中央教育科学研究所阎立钦教授认为：“创新教育是以培养人的创新精神和创新能力为基本价值取向的教育”1.所以，在数学课堂教学中，主要是倡导创新意识，倡导批判思维，教育学生学会多角度看问题，树立不唯上，不
2、唯书，立异求新的精神，从而实现“培养学生的创新精神、创新能力和创新人格” 1的教育目的.以此评价数学课堂教学，不能简单以结果论成败，应该关注教学的全过程.在教师角度看，从课堂内容的设计，到提问方式，语言表达，师生和谐互动，各个环节均能体现培养创新意识的教学目的；在学生角度看，关键是体现学生个人的自主性.只要是在学生个人已有的基础上有突破性认识，有积极进步的探索精神和实践，无论成果大小，结果是否精彩，整个过程就是创造性的，都具创新教育价值.哪些途径和做法有助于培养学生的创新意识？不同知识单元之间，设计和教法既有共性也有不同，针对单元内容的特点进行设计才更有效.数列单元知识有趣，题型灵活，与函数、
3、方程等知识联系紧密，应用广泛.课程学习入手易，不陌生（一些问题小学、初中就有涉及），特别适合以此为素材培养学生创新意识.本文以高中数列单元的教学为例，谈谈在教学中培养创新意识的一点做法.一、趣味引导探索激情俗话说:“兴趣是一个人最好的教师”.爱因斯坦曾说：“兴趣和爱好是最大的动力”.学生有了对数学、思维的兴趣和爱好，就会“带着一种高涨的、激动的情绪从事学习和思考”1.兴趣可以引导和推动一个人去钻研，去探索，将注意力放在所感兴趣的问题上，从而获得创造的成功.反之，如果学生对数学学习没有兴趣，甚至对数学学科产生厌烦情绪，这就容易导致学习效率低下，更谈不到创新思维.因此培养创新意识，首先要解决兴趣问
4、题.数列教学以兴趣为导向，可从以下两方面展开.（1）以填数字游戏引入新课学生对数列并不陌生，从小学开始，就已经接触了许多数列问题，通常最多的是简单归纳，总结规律之类的填数字游戏，有一定难度的也不少. 简单的如：， ，；， ，；1，3，9， ，81，；复杂的如， ，（三角形数）；， ，（正方形数）；， ，（斐波那契数列）；再例如图形类的题目：例1（2004上海春季8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有_个点2.。 （1） （2） （3） （4） （5）此题若改为第六图共几个点？根据数列各项依次为，大多数学生都能迅速找到正确答案.这一类的填数字游戏学生大部分都接触过，感觉不
5、陌生.其内容涉及等差，等比甚至递推关系等数列问题，内涵丰富，非常有趣.数学教学贵在启发兴趣.数列的新课程引入过程中，以小学时常玩的填数字游戏开始，让学生在游戏中领会等差、等比数列的定义，归纳通项公式，教师只需事先设计好用来引导的练习，由浅入深，先易后难，循序渐进，学生感觉熟悉而亲切，能在最短的时间内融入数列的氛围，迅速适应新课程学习.设计运用得当时，水到渠成，效果奇好. （2）以数学史料丰富数列知识，增加趣味性喜欢听故事是人的天性，虽然数学史不等于数学故事，但是数学家或数学界的逸闻趣事，不仅可以激发学生学习数学的兴趣，而且对学生的成长还富有启发作用.法国数学家亨利庞加莱曾说：“如果我们想要预测
6、数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科的历史和现状” 6.在课堂上进行数学教学时，结合教科书，适时穿插一些数学趣闻，说说数学史上公式、定理等发现过程，讲讲数学史上的难题是如何被解开，可以增加感性认识，接近单元内容，调动学生的积极性；展示数学家的图片，可以拉近与数学家们的距离，添加理性课堂的“人情味”，引发学习动机，保持对数学的兴趣和热忱.递推公式教学中，菲波那契数列自然不可少.适时介绍意大利数学家斐波那契、以他名字命名的斐波那契数列（，）；讲讲自然界有趣的花瓣数目问题；说说它和黄金分割数的神奇关系；以斐波那契数列引入数列的递推问题当然很有趣.探索自然界的斐波那契数列，黄金分割数，把它们作为课
7、外研究性学习的课题介绍给学生也很不错. 等比数列部分，谢宾斯基（Sierpinski）三角形,有趣的图形变换让人眼花缭乱；细菌的分裂速度之快，让人惊讶不已；几何级数式增长，国际象棋故事里的数字-264到底有多大6？等差数列求和部分，德国天才数学家高斯的故事最出名.在高斯求和的趣题中，给出问题：布置学生首先学习和理解高斯的求和方法：即.接着提出问题: (奇数个)再提出问题: (要讨论是奇数或是偶数？)设问：有没有更好的，比高斯更聪明的办法？（提示：回忆梯形面积公式及推导过程）学生们兴趣大增，注意力一下子被吸引住了.有高斯求和的铺垫，加上讨论提示等，学生很快得到启发倒序相加求和法：令，显然，两式相
8、加得：.结合高斯求和的故事，学生们至少有以下四个收获：初步了解“数学王子”高斯；记住了等差数列里的一个重要性质，当则有；记住了求和公式；学会倒序相加的求和方法.中国古代数学典籍中记载的一个数学诗歌体的题目也会引起学生对数列求和问题的兴趣.例2 巍巍宝塔： 遥望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？答案：塔顶有三盏灯.此诗构思新颖，脍炙人口，有声有色，饶有趣味.配合教学内容，适当选用数学史料，增加课堂以外的认识，使得数学课堂教学更加充实，内容也变得色彩丰富.课堂上穿插的益智游戏，一张图片或一幅画、一个小故事，配合轻松幽默的语言，经常能使得学生趣味盎然、玩味无穷，进而激荡出学
9、习探索的兴趣，这对培养创新意识起到很好的铺垫和激励作用.二、研究性学习尝试创新研究性学习有助于培养创新能力，这一点在广大中小学的研究性学习实践中已有证实，许多中小学生的发明创造就是研究性学习的成果.等比数列的模型，应用广泛，作为研究性学习课题很恰当.由于相关话题太多，涉及多学科，多视角，而每个学生的兴趣点不同，将有关知识布置给学生，学生自由组合，自主选题，通过搜集材料，参与调查，举办展示，互相介绍研究成果，交流经验和收获等做法，可以极大的激发探索的兴趣.整个过程下来，对培养数学学科的兴趣，激发创造性，体验探索的过程很有帮助.下表是一些常用的学生研究课题：序号主题序号主题1与等比数列求和有关的故
10、事6放射性元素的半衰期及应用2中国经济增长及预测7细菌分裂模式与等比数列3银行贷款的等额还款8流感扩散速度预测4股神巴非特的奇迹与复利增长9新闻效应及信息传播速度5九连环益智游戏210计算机病毒传播速度预测三、培养观察能力，善用类比、归纳、猜想等思想方法观察是思维探索的大门，敏锐的观察力是创造思维的起点.数列问题特有的直观性，正好适合对学生进行观察能力的培养，归纳、类比、猜想更是走向创新的常用途径.例3 观察以下数列的特点，填空并归纳它们的通项公式.， ， ，.， ， ，. ， ， ，. ， ， ，. ， ， ，.例4 以下结合给出数列：，（一阶差分数列）5.设计任务1：观察并找出该数列的特点
11、.常见观察结果之一：发现规律-后项减前项是等差数列，即，进一步归纳出一般项.常见观察结果之二：看到，,从而第个为.参考图片如下：设计说明：数列中的规律就藏在数字背后，观察、尝试，再观察，再尝试，反复进行中，不断发现新的问题，不断接近答案，整个过程处处考验观察能力.通过对目标的观察训练，有助于发现新事物，尝试新方法，有助于培养创新意识.设计任务2：找出该数列的通项公式.方案一：因为 ，.解方程组消元（或叠加法）得 .方案二：由，.第个即.设计说明：以上结果，启发学生通过观察、交流，找到答案.无论猜想之后的数学归纳法证明，或者联想对比其它已知数列，或者由递推公式运用叠加法求通项公式，都回到常用的数
12、学方法上来.设计任务3：你还能想到其它办法求出该数列的通项公式吗？联想结果之一：数列，类比联想数列，.即，故所求数列，.可写成，.即通项 .联想结果之二：观察如图杨辉三角，数列，.各项依次为，.故通项公式为.设计任务4:求该数列的前项和.方案之一：利用通项公式=拆项为与等差数列分别用公式求和，再化简合并，可得和为.方案之二：（对应任务3的联想结果之二）=.设计任务5：观察前项和形成的新数列，继续深入探讨，（二阶差分数列）.例5 （2006高考广东卷14题）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第
13、一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. 由杨辉三角显然，2.以上任务可以连续追问，也可以单独提出.学生结合已有的知识，经过思考、联想，慢慢接近目标，伴随着问题的逐步深入和展开，能充分发展学生创新能力.这种观察、猜想的思维过程无疑是最有价值的创新活动体验.另外，数学归纳法的应用，也是一个从观察猜想论证的思维过程.四、问题引导，集体参与，发散思维，变式教学著名数学家徐利治教授指出：“创造能力知识量发散思维能力”.一题多解、发散思维、能有效促进创造性思维的发展. “横看成岭侧成峰，远近高低各
14、不同”，不急于给学生的认识下结论，和学生站在一起，以学生的角度，从不同方面来进行分析、讨论.看问题的角度不相同，所获得的结论，采用的方法也就不相同，才能提出创造性的见解，树立创新意识.（1）一题多解，发散思维数列问题的题型灵活，解法多样，是一题多解，训练思维的好材料.例6（必修5第68页B组第1题）：等比数列的各项均为正数，且 ，则 （ ）A、 B、 C、 D、 针对不同思考角度提出问题，进行问题设计，调动学生的创新思维，掌握常规更能突破常规.常规任务：常规解法，先化简再求值，参考等比数列的主要性质都有哪些？由目标式子化简得原式= ，又因为，结合等比数列性质，显然，故上式即 = =10.创新任务：能否解出首项，公比再进而求出各项，代入目标式子计算？（条件不足，无法接出具体首项公比）.追问，既然首项公比都不能确
