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1、线性空间的应用I.Durer魔方1514年，德国著名的艺术家AlbrechtDurer（1471-1521）曾铸造过一枚名为的铜币，这枚铜币的画面充满了数学符号、数字及几何图像。这里，我们可以看一下铜币右上角的数字问题，这是一个自然数组成的方块（可以看作一个矩阵），称之为Durer魔方（如果一个4父4数字矩阵，它的每一行，每一列，每一对角线以每小方块上的数字相加）。其形式为163213510118196712415141此魔方中，每行、每列、对角线上的数字加在一起其和为34,若用水平线盒垂直线把它四个小方块每个小方块的数字和也是34,若把四个角上的数字相加，其和仍是34。另外15,14排在最后
2、一行，正好是铜币的铸造时间。我们可以经过一些换行、列的交换，通过旋转，通过中间轴和对角线的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少个可定义的Durer魔方？是否有构成所有魔方的方法？我们说有。卜面通过用0,1数字组合的方法构成R=C=D=S=1的所有魔方（这里R为行和，C为列和，D为对角线和,S为小方块和），称之为基本魔方1Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7和Q8。0Qi 二01,Q21一10000010一 0109_0 0-01Q5 =0P。1 0P0I101-0Q701001001100若我们把每一个Durer魔方看成是一个矩阵，那么Durer可实行矩阵的数乘、加法运算。因此，可
3、以通过已知的Durer魔方进行线性组合，构成新的Durer魔方，所有Durer魔方构成一个线性空间，记为V。V显然是一个有限维的线性空间。我们容易证明Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7是其一组基，这样我们就可以用Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7的线性组合来表示Durer魔方，例如163213510118=8Q+8Q2+7Q3+6Q4-3Q5+3Q6+5Q7196712515141改变对Durer魔方数字和的要求，我们可以利用线性子空间的定义，构造V的子空间或者包含V的子空间。例如求行和，列和及两条对角线上的元素和相等，得到8维线性空间Q,基向量为Qb=Q1,Q2,，Q7,N。,其
4、中Q1,Q21Q是V的基，而N。100_ 1-100101000例如:一6125 .776107959781769r=C=D=30V是Q的7维子空间。例如要求列和、行和及每条主、次对角上数字和都相等，得5维向量空间B1721116H=N=R=C=46161122-3P=12762126712_其中H为主对角线和，N为次对角线和，B的基为一10101一10011-0110101001101001R=,P2=,P3=010110010110p1011p110_1001101011110010100011P4=P5=10101100-01011J0011_Botsch于1967年证明了可以构造大量的
5、V子空间或V的扩张空间,116之间的每一个数K,都存在K维4父4方阵构成的线性空间。2.向量在的调整气象观测站问题中应用某地区有12个气象观测站，10年来各观测站的年降水量如下表。对于X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451,466.2307.5421.1455.11983192.7436.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1
6、357353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327:296.54231985291.7311502.4254245.6324.8401266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453
7、.6315.6456.3407.21989158.5271410.2344.2250360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1为了节省开支，想要适当减少气象观测站。问题：减少哪些气象观测站可以使所得降水量的信息仍然足够大？解：用%,汽2,尸12分别表示气象观测站在1981-1990年内的降水量的列向量，ototot由于1,2,12是含有12个向量的十维向量组，所以该向量组必然相关。若能求出一个最大无关组，则最大无关组所对应的气象站就可以将其
8、他气象站10个气象观的资料表示出来，因而其他气象站就是可以减少的。因此，最多只需要测站。由。1平2,，由2为列向量组作矩阵A,可以求出一个最大无关组:1,1.2,：-3,：-4,：-5,：-6,：-7,：-8,：-9,：-10且有：:11=0.0275：1-1.0782-0.125630.13834-1.8927：5-1.6552：60.6391：7-1.0134：82.1608：93.79410:12=2.0152:115.1202:213.8396:38.8652:427.102528.325%-38.2279：78.29238-22.2767：9-38.878：10故可以减少第11和12
9、个观测站，可以使得到的降水量信息仍然足够大。当然，也可以减少另外两个观测站，只要这两个列向量可以由其他列线性表示。注：如果确定只需要8个观测站，那么我们可以从上表中取某8年的数据（比如，最近8年的数据），组成含12个向量的向量组，然后求其最大无关组，则必有4个向量可由其他向量线性表示。这4个向量所对应的气象观测站就可以减少。3.向量在基因的“距离”中的应用在ABO血型的人们中，对各种群体的基因频率进行了研究。如果把四种等位基因A1,A2,B,O区别开，有人报告了如下的相对频率：爱斯基摩人f1k班图人f2k英国人f3k朝鲜人f4kA10.29140.10340.20900.2208A20.000
10、00.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1111现在的问题是：一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示基因距离的合适的度量。0.39500=0.1450 10.1214产30.04280.9177-, 21 I0.16820.9674-3a10.29910.0996 ,a40.0876-0.9449-0.341100.3196-0.8840-解：解决这个问题可以用向量的方法。首先我们用单位向量表示每一个群体，为此对各个群体向量单位化：由此可见最小的基因“距离”是爱斯基摩
11、人和英国人之间，最大的基因“距离”是爱斯基摩人和班图人之间。另一种度量方法是考虑在四维向量空间中，这些向量（支1,支2,汽3，豆4）都是单位向量，它们的终点都位于一个球心在原点半径为1的球面上，现在用两个向量的火角来表示对应的群体间的基因“距离”是合理的。我们把叫与Otj之间的夹角记为可，由于|四|=|otj|=1,再由夹角公式（：-i,：-i）cosOij=,其值为备=arccos（oti户j）,则（oti,o（j）的大小与久的大小成反比。IKIITj经计算得：（：1,：2）=0.9523（：1,：3）=0.9891;（：1,：4）=0.9597;（：2,：3）=0.9844;（二2；4）=0.9585;（：3,：4）=0.9654.由于（四,a3）的内积最大，而（,0f2）的内积最小；所以爱斯基摩人与英国人的基因“距离”最小，爱斯基摩人与班图人的基因“距离”最大。以上两种度量方法的结果是一致的。
