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1、起伏地表下地震波场数值模拟计算摘 要 :本文简要总结了地震波场数值模拟的各种方法的基本原理并对比其优缺点， 并对最近一些 新出现的方法进行简要讨论。模拟计算方法有很多种，本文重点讨论二维有限差分法，其能够有 效地解决起伏地表的情况，是求解波动方程计算效率最高、应用最为广泛的方法之一。 关键词：地震波场数值模拟；二维有限差分法；起伏地表2D Numerical Simulation of Seismic Wave Field with Relief TopographyAbstract: This paper reviews the principles and characteristics
2、of various numerical simulations of seismic wave field ，and compares the merits and defects of the simulations. Some newly emerged methods and results are briefly discussed. There are so many computing methods for this, but the keynote of this text is talking about the 2D finite difference method. A
3、s one of the most efficient methods ，the finite difference technique is widely used in wave equation solution and it is useful to resolve the problem which in surface topography.Key words: seismic wave field numerical simulation; 2D the finite difference method; surface topography地震波场数值模拟是研究地震波在介质中的
4、传播规律、了解地震波在地下介质中的传播特点 和协助对观测数据解释的有效手段，而提高计算精度和运算效率一向是所有波场数值模拟计算方 法中所追求的目标。近几年来，地震波场数值模拟计算方法有限差分法已经得到了普遍的应用 13-17 ，并且地 球物理学家用其作为一个灵活的工具进行建模，使其在不同的地质环境中都能够有效地解决问题。 有限差分法形式简单，概念明确，内存占有率小，计算效率高，但求解过程中还是会遇到一些问 题，尤其是处理起伏地表上时，出现的频散现象十分严重，本文中针对每一问题，提出相应的处 理措施，以保证数据处理过程中的真实性。1 地震波场数值模拟计算方法及发展现状 地震波场数值模拟的理论基础
5、主要有射线和波动方程的理论 1，本文通过叙述两大类地震波 场数值模拟计算方法几何射线法和波动方程法，对该两大类方法的优缺点进行比较，并简要 说明数值模拟计算方法的发展现状。1.1 几何射线法几何射线法又称为射线追踪法，其主要理论基础是：在高频近似条件下，地震波的主能量沿 射线轨迹传播。因此，射线追踪是建立在波动方程的高频渐近的基础上的地震波场数值模拟计算 方法2。射线法属于几何地震学方法，由于将地震波理论简化为射线理论，主要考虑的是运动学 特征，因此运算速度较快，但相应地缺失了动力学特征的信息，且对于复杂构造进行射线追踪往 往比较麻烦。1.2 波动方程法波动方程法是研究地震波场特点的最根本的方
6、法，虽然费时，易引进干扰波，但波场齐全， 信息丰富，因此对于研究复杂条件下的各种波场最为有效，具有广阔的发展前景。地震波动方程 的数值模拟方法主要有 :傅里叶变换法、有限元法、反射率法和有限差分法等等，但这些方法都各 具优缺点。傅里叶变换法的主要优点是精度高，占用内存小，运算速度快，缺点是难应付横向变速；波 动方程的有限元法的主要优点是适宜于模拟任意地质体形态，可以任意三角形逼近地层界面，保 证复杂地层形态模拟的逼真性，缺点是计算量大，计算效率低 3；反射率法是一种数值变换法， 是 Fuchs4 提出的一种频谱方法，优点在于考虑反射层系中的多次反射和转换波， 所以合成地震记 录精确度高。有限差
7、分的方法在地震波场数值模拟中使用最为普遍，概念较为直观、明确，但求 解过程中不可避免会出现一些问题，且仅限于一些简单的模型，本文中将有所体现。在有些文献中 5,6提到地震波场数值模拟还有另外一种计算方法 积分方程法，它是建立在 波动方程的积分表达基础上的，其理论基础为惠更斯原理，该方法在空间域通过高阶差分近似将 波动方程转换为一系列关于时间的差分方程，并采用积分法求解方程组，最后只需求解一个指数 函数矩阵的积分7。1.3 数值模拟技术的发展现状随着地震波理论在天然地震和地震勘探中的应用，地震波模拟技术应运而生，地震数值模拟 技术的飞速发展始于从 20世纪 60年代，并形成了多种类型的正演模拟方
8、法：有限差分法、有限 元法、积分方程法和虚谱法等等。本文重点介绍有限差分法，现介绍其发展现状。有限差分法是地震数值模拟中较早出现的数值模拟方法，它是一种基于偏微分方程的数值解 法。1968年，Alterman和Kara 1首先使用了有限差分法进行了层状介质地震波传播的模拟。1972 年，Boore【9用有限差分法进行了非均匀介质地震波传播的模拟。1974 年, Alfords等人对声波方 程有限差分法模拟的精确性进行了研究。1982年，WhitemoreM在第52届SEG会议上提出了逆 时偏移方法，同时在下一年发表相干文献，此后多位学者发展和完善了这一偏移方法。 1996 年 Muftie12
9、等人讨论了用有限差分的方法对三维模型的地震数据进行深度偏移研究。2000年董良国 13等给出了一阶弹性波方程交错网格高阶差分解法，并且给出了稳定性条件；2004年裴正林14 运用交错网格一阶空间导数的任意偶数阶精度展开式和相应差分系数计算式以及一阶双曲型应力 速度弹性波方程交错网格任意偶数阶精度差分格式来求解方程。2008年，宁刚、熊章强等对 波动方程有限差分正演模拟的误差来源进行了分析。2014年，杨庆节、刘财和耿美霞16等对交错 网格任意阶导数有限差分格式及差分系数进行推导；方刚、FOMEL Sergey和杜启振W研究了交 错网格Lowrank有限差分方法，分析该方法的精度及频散的关系，并
10、将其用于逆时偏移成像。2 有限差分法有限差分法是地震波场数值模拟计算方法中较为直观、简便的一种方法，即数值求解常微分 方程或者偏微分方程的方法。其基本思想是把所需要求解的区域进行离散的网格剖分，接着用网 格上定义离散变量的函数来近似代替原区域的定解问题，把原来的特定方程(如波动方程)近似 地用差分的形式来代替，加之一些定解问题、边界条件组合成为有限差分的线性方程组，解得到 离散的近似解，接着用插值的一些方法来求解整个区域的近似解。但有限差分法求解过程中常常会遇到一些问题，边界及初始条件的确立、稳定性分析和频散 问题等等，这是运用该方法求解过程中不可避免存在的，因此在本文中会提到相应的处理措施，
11、 确保处理结果的准确性。2.1 基本概念微分方程：凡是含有未知函数的导数或者微分的方程。常微分方程：未知函数只有一个自变量的微分方程。偏微分方程：未知函数含有多个自变量，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数。一阶微分公式与有限差分之间的转换：dy A y f (x + A x) - f (x)dX =AX(向前差商)(2-Ddy Ay _ f(x)-f(x-Ax)dx AxAx(向后差商)( 2-2)dy Ay _ f (x + Ax) - f (x - Ax)dx Ax2Ax(中心差商)( 2-3)f (x + Ax)- f (x) _ f (x)- f (x-Ax)f(x) = d2f
12、(x)沁心A二阶差商公式：dx 2Ax(2-4)=f (x + Ax) - 2 f (x) + f (x -Ax)Ax 22.2 边界和初始条件的处理地震勘探大部分是在地下半无限介质甚至更加复杂的介质中进行，而数值模拟计算的方法只 能在特定的范围内进行计算。因此在进行数值模拟的过程中需要限制条件。例如给定一个地震信 号从震源出发，到达限定的边界时，不可避免地会发生发射，使得这些反射的干扰信号和需求的 有用信号互相混杂在一起，对计算的结果产生极大的影响，必须得采用一种方式将边界处的反射 信号进行稀释处理，这时候必须要边界条件的处理问题，边界条件处理的好坏直接影响到地震波 场正演模拟的最终结果。大
13、部分进行波场数值模拟时有限差分网格是限制在人工边界里面的，即引入了人工边界条件 (在二维条件起伏地形下)。但这种人为边界条件的引入， 只是限制住求解的范围区域， 并没有对 处于边界处的反射干扰信号进行消除，因此会对有限区域内的波场值的计算带来严重影响，所以 必须得进行特殊的边界处理才能达到期盼的效果。最早的吸收边界条件(常被称为粘性边界条件)是由 Lysmer 和 Kuhlemeyer 18提出的。其缺 点是吸收人工反射波的效果较差。使用最普遍的是 Clayton 和 Engquist19，Engquist 和 Majda20 提出的二维吸收边界条件。该边界条件使用了拟微分算子 , 然后用帕德
14、逼近得到不同精度的边界 微分方程，当反射波垂直入射时，这种吸收边界条件吸收效果较好，在本文中的人工吸收边界条件为 Clayton_Engquist_Majda 二阶吸收边界条件，其左右上下的 边界条件的有限差分的表达式为：u( j,0,k +1) = (2 - 2x (v( j,i) x At/h) - (v( j,i) x At)2) x u( j,0,k) + 2x (v( j,i) x At/h) x(1 + v( j, i) x At/h) x u( j,1,k) - (v( j, i) x At)2 x u( j,2,k) + (2 x (v( j,i) x At/h) -1) xu
15、( j,0, k -1) - 2 x (v( j, i) x At / h) x u( j,1, k -1)u( j, Nx, k +1) = (2 - 2 x (v( j, i) x At / h) - (v( j, i) x At )2) x u( j, Nx, k) + 2 x (v( j, i) xAt/h) x (1 + v( j,i) x At/h) x u( j,Nx-1,k) - (v( j,i) x At)2 x u( j,Nx- 2,k) + (2 x (v( j,i) xAt / h) -1) x u( j, Nx, k -1) - 2 x (v( j, i) x At
16、/ h) x u( j, Nx -1, k -1)u(0, i, k +1) = (2 - 2 x (v( j, i) x At / h) - (v( j, i) x At )2) x u(0, i, k) + 2 x (v( j, i) x At / h) x(1 + v( j,i) x At/h) x u(1,i,k) - (v( j,i) x At)2 x u(2,i,k) + (2x (v( j,i) x At/h) -1) xu(0,i,k-1)-2x(v(j,i)xAt/h)xu(1,i,k-1)u(Nz,i,k+1)=(2-2x(v(j,i)xAt/h)-(v(j,i)xAt)2)xu(Nz,i,k)+2x(v(j,i)xAt/ h)x(1
