排列组合问题常用的解题方法含答案

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1、高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列.例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排 法种数有种。二、相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离 的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.例2:七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.例3: A B、C、D E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边（A、B可不 相邻），那么不同的排法种数有 。四、标

2、号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个 元素，如此继续下去，依次即可完成.例4:将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。例5:有甲、乙、丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中 选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算， 最后总计。例6:由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数

3、字的六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有 个。例7:从1, 2, 3，- 100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？例8:从1, 2，100这100个数中，任取两个数，使其和能被 4整除的取法（不 计顺序）有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（A B） n（A） n（B） n（A B）。例9 :从6名运动员中选出4个参加4X100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不 跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其他元素。

4、 例10: 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同 的排法有种。九、多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。例11： 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数例12： 8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？十、“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。例13：从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电 视机各一台，则不同取法共有种。十一、选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取

5、后排法。 例14：四个不同的球放入编号为1, 2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放 法共有种例15： 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有 多少种不同分组法？十二、部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。 例16：以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。例17：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共 有种。十三、复杂排列组合问题构造模型法例18:马路上有编号为1, 2, 39九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相 邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

6、 十四、利用对应思想转化法例19：圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列.例1：五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有种。分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，A424 种。二、相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离 的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.例2:七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数分析：除甲乙外，其余5个

7、排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是A5A；3600种、定序冋题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.例3： A B、C、D E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边（A、B可不 相邻），那么不同的排法种数有 。分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即1a560种。2四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个 元素，如此继续下去，依次即可完成.例4:将数字1 2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所

8、填数字均不相同的填法有 o分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X 3X 1=9种填法。五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。例5:有甲、乙、丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 o分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的 8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有c10c8c7 2520种。六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多

9、种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计例6:由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有 个。分析：按题意，个位数字只可能是 0，1, 2, 3, 4共5种情况，分别有A个，A4A3A3 , A3A3A3 , A2A3A3 , A3A3 个，合并总计 300 个。例7:从1, 2, 3,100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？分析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被 7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A 7,14,21丄9

10、8共有14个 元素,不能被7整除的数组成的集合记做 A 1,2,3,4, L ,100共有86个元素；由此可知， 从A中任取2个元素的取法有C：，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C；4C；6，两 种情形共符合要求的取法有C14 G；C861295种。例8:从1, 2,100这100个数中，任取两个数，使其和能被 4整除的取法（不 计顺序）有多少种？分析：将I 1,2,3 L ,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A 4,8,12,L 100 ;能被4除余1的数集B 1,5,9,L 97，能被4除余2的数集C 2,6,L ,98 ,能被4除余3的数集D 3,7,11丄99 ,易见这四

11、个集合中每一个有25 个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从 C中任取两个 数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 C： C；5C；5 CL 种。七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A B) n(A) n(B) n(A B)。例9 :从6名运动员中选出4个参加4Xl00m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不 跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析：设全集1= 6人中任取4人参赛的排列, A=甲第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：八、定位问题优先法某个(或几个)元素要

12、排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。例10: 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同 的排法有种。分析：老师在中间三个位置上选一个有 A；种，4名同学在其余4个位置上有A4种方 法；所以共有A3A472种。九、多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。例11: 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A 720种。例12： 8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某2个元素要排在前 排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？分析：看

13、成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排 2个，有A2种，某1个元素 排在后半段的四个位置中选一个有 A；种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有 AAA/5760 种排法。十、“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。例13：从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电 视机各一台，则不同取法共有种。分析1:逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C93 c43 C5370种分析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1台乙型2台；甲型2 台乙型1台；故不同的取法有 dc c5c： 70种

14、。十一、选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例14：四个不同的球放入编号为1, 2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放 法共有_种分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C2种，再排：在四个盒中每次排3个有A3种，故共有C4A3144种。例15： 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有 多少种不同分组法？分析：先取男女运动员各2名，有dd种，这四名运动员混和双打练习有 A中排法， 故共有CfcX 120种。十二、部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。例

15、16：以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成 C84四面体，但6个表面和6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C84 12 58个。例17：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共 有种。分析：10个点中任取4个点共有G4。种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 C64，四个面共有4C：个；过空间四边形各边中点 的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共 6个；所以四点不共面的情 况的种数是C；0 4C： 3 6141种。十三、复杂排列组合问题构造模型法例18:马路上有编号为1, 2, 39九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？分析：把此问题当作一个排对模型，在 6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C； 种方法。所以满足条件的关灯方案有 10种。十四、利用对应思想转化法例19：圆周上有10点，以这些点为端