《实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章_复习指导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章_复习指导（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格 可测集.但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论.我们通过外测度和卡拉 皆屋铎利条件来等价地定义可测集(即定义323)，为此，首先讨论了外测度的性质(定理3.1.1).注意到外测度仅满足次可列可加(而非可列可加)性， 这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测 度，即测度应是外测度在某集类上的限制 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由 来，因为这个条件无非是一种可加性的要求本章详细地讨论了勒贝格测度的性质其中，最基本的是测度满足在空集上
2、取值为零，非负，可列可加这三条性质由此出发，可以导出测度具有的一系列 其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关 结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类.这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、 闭集、型集和 型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又 非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子因为构造这样的例子要借助 于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性 限于 本书的篇幅而把它略去读者只须知道：任
3、何具有正测度的集合一定含有不可测 子集复习题一、判断题、，n*1对任意E j R ， m E都存在。(V )2、对任意ERn，mE都存在。(x )3、设E Rn，则m*E可能小于零。(x )4、 设 B，则 m* A _ m*B。(V )5、 设 A二 B，则 m* A m*B o (x )oOCO6、 m ( Sn )八 m Sn o (x )n生n doO7、 m* ( Sn) 二 m*Sn o (V )n理n*8、设E为R中的可数集，则m E = 0。（V ）9、设Q为有理数集，则 m*Q =0 o （V ）10设|为Rn中的区间，贝U m*l =ml =|l o （V ）11、 设I为
4、Rn中的无穷区间，贝U m*l二让苍。（V ）12、 设E为Rn中的有界集，则 m E o （V ）13、 设E为R中的无界集，贝U m E - ：。（x ）14、 E是可测集=Ec是可测集。（V ）qQqQ15、 设&是可测集列，则Sn ,Sn都是可测集。（V）nAng16、 零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（V ）17、 任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（V ）18、 任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（V ）19、若 E = 一，则 mE 0。（x ）20、 若E是无限集，且m*E =0，则E是可数集。（x ）21、 若mE =，贝
5、U E必为无界集。（V ）22、 在Rn中必存在测度为零的无界集。（V ）23、若A , B都是可测集， AM B且mA二mB，则口卩-厲=0。以）24、 _ 和 Rn都是可测集，且 m、=0, mR ：。（V ）25、设E1,E2 为可测集，则m（E -E2）_ mE1- mE?。（x ）26、设E1,E2 为可测集，且E1 二 E2，则 mQ-E2）=mE - mE?。（x ）二、填空题1、若E是可数集，则 m*E =； E为可测 集;mE二 。nn2、 若S1,S2J|,Sn为可测集，则mUs小于或等于 瓦mSi ;若S,S2|,Sh为两两不相口nn交的可测集，则mU S等于 mS。i#
6、；亠3、 设Ei,E2为可测集，则 m（Ei -E2） mE2大于或等于mEi ；若还有mE?:，则m（巳-E2） 大于或等于mE1 -mE2。4、 设E1, E2为可测集，且 巳=E2, mE2 :，贝U m（巳_E2）等于 m - mE2。5、设X。为E的内点，贝U m*E大于 0。6、设P为康托三分集，则 P为 可测 集，且mP二 。7、 m . 一 二 ， mRn = +m 8、 叙述可测集与G .型集的关系 可测集必可表示成一个 G .型集与零测集的差集。9、 叙述可测集与F型集的关系可测集必可表示成一个 F：_型集与零测集的并集。三、证明题1、证明：若E有界，则m E ： :。证明
7、：因为E有界，所以，存在一个有限区间I，使得Eu I，从而m芒兰m许=| 0，取1. = & 一吕，& +括= 1,2,， 0 (k ：),证明E是可测集.qQ证：令A =Ak ,则A二E .因为Ak (k =1, 2,)是可测集，所以 A是可测集，又k 4由 o _ m (E A) _ m (E Ak)0 (k：)可知m (E A) =0 因此，E A是可测集而E = (E A) A，故E是可测集.qQ10.设En是0,1中的可测集列，若 mEn=1, n =1,2川1，证明：m En1.n 二 : c匚证明令 E =0,1，则 0m(EEn)=m(En(UEn )二 m(U(E-En)n 纟ngngqQqQm(E -En) = (mE -mEn)二0 其中 mE 二 1, mEn 二 1,n 2n 2虫哄穽op m(E-r|En)=0,. m(C1En) =m(E-(E-nEn) =mE-m(E-nEn)=1.n 二n 2n 二n 二#
