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1、-dudu*很明显，MPMQ，所以，。若设方向MQ的单dndl位矢量为e，且en与el之间夹角为，则有：面上的P点和Q点。其中，MP与等值面的法线方向 en平行。du屯cos ，式中史是该点处dndnduen的方向就是该点处 u变dn等值面上m点处，沿任意方向e的方向导数dudl浄e，式中詈是该点处u的梯度大小,鱼可以写成dldudl(gradu) e。所以，标量场u中某点处的梯度的“大小”就是在该点处沿各个方向的方向导数的最大标量场的梯度1.方向导数：研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场(标量函数)随空间坐标的变化情况。标量函数u(x,y,z)在某点处的方向导数定义为：设有一个标量场u(x
2、,y,z)(标量函数)，从场中某点M位移dl到邻近的另一点时函数 值从u变为u du，则比值du就是标量场函数在 M点处的方向导数，如图所示：dl在上图中，设 u和u du是相差很小的两个等值面，且 du 0。M点位于u等值面上，沿两个不同的路径位移到等值du du dn duducosen edldn dldndndu2.定义矢量gradu 一 en为等值面u在M点处的梯度。dn显然：等值面上M点处，沿任意方向al的方向导数 虫 dlu的梯度大小，或者说 理 是M点处 理 的最大值，gradu dndl化最快的方向；值，而其“方向”与该点处等值面的法线方向平行，并指向函数u值增大的方向。3.
3、梯度的计算公式:在直角坐标系中，注意到 du Udx Udy dz，而dl dx dy ezdz ,x y zdl(gradu) e 可见，du(gradu ) dl可以设计一个矢量算符grad，使得du （gradu ） dl不难看出,这个就是著名的哈密顿算符（Hamilton算符），读做del，它兼有矢量运算与微分运算的双重作用，常被称为矢量微分算符。今后，我们通常用u表示u的梯度：uuugraduuex 一ey ez 一 ueyezxyzxyzf( ) f ()上式是在直角坐标中的梯度公式，其它坐标系中的公式见教材中附录。1例：证明丄（重要关系式）R说明:1). R r r ；2）.r是
4、观察点0到场点p的矢径;r是源点p到场点p的矢径;-;当场点不变源点变化时,R、一 1 梯度表示为一。R为简便计，采用球坐标系 （r,），将坐标原点设在源点p上，有r R,er eR :R (1)er丄 erR r rrR2将坐标原点选在场点p 上，有 r R,ereR :1 Z1 1 1 1R匚(严严 R2eR R2命注意到er和er方向相反，由上两式可得:1111RR 疋洙R矢量场的散度力线是矢量场的形象表述,比如电力线、磁力线。通量则是描述矢量场特性的一个重要概念。1面元矢量一个面元由其大小和方向确定。dS dSnC关于面元方向的规定:1) .对于开曲面，dS是这个开曲面上的一个面元。这个开曲面一定由一闭合曲线C围成。规 定，dS与C满足右手关系时，dSo,反之dS F dS 0，且它对应着一个矢量
