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1、 精品资料8.3直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，则EF平面BCD.()(5)若，直线a，则a.()2.若直线l不平行于平
2、面，且l，则下列说法正确的是_.(填序号)内的所有直线与l异面；内不存在与l平行的直线；内存在唯一的直线与l平行；内的直线与l都相交.答案解析由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有是正确的.3.下列命题中，正确的序号为_.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行；若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行；若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面.答案解析由面面平行的判定定理和性质知正确.对于，位于两个平行平面内的直线也可能异面.4.如图，正方体ABCDA1B1C1D
3、1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.答案解析因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EFAC，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF.5.已知平面平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是_.答案解析因为，a，所以a，在平面内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题为真命题，命题为假命题.在平面内存在无数条直线与
4、直线a垂直，故命题为假命题.题型一直线与平面平行的判定与性质例1(2012山东)如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.思维启迪(1)利用等腰EDB底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.证明(1)如图，取BD的中点O，连结CO，EO.由于CBCD，所以COBD.又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO.又O为BD的中点，所以BEDE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连结DM，DN，MN.因为M
5、是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.又因为ABD为正三角形，所以BDN30.又CBCD，BCD120，因此CBD30.所以DNBC.又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，所以平面DMN平面BEC.又DM平面DMN，所以DM平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连结EF.因为CBCD，BCD120，所以CBD30.因为ABD为正三角形，所以BAD60，ABC90，因为AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D为线段AF的中点.连结DM，由于点M是线段AE的中点，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，
6、所以DM平面BEC.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa).如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG平面ADD1A1.证明因为EHA1D1，A1D1B1C1，EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1.又平面FGHE平面BCC1B1FG，所以EHFG，即FGA1D1.又FG平面ADD
7、1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG平面ADD1A1.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.思维启迪要证四点共面，只需证GHBC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E、F分别为AB、AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形
8、，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点， E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明(1
9、)如图，连结SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连结SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截 面形状，再建立目标函数求最值. 解AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面AB
10、D分别交于FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证EFGH，截面EFGH是平行四边形.设ABa，CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，SEFGHFGGHsin x(ax)sin x(ax).x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.如图所示，四棱锥
11、PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BEa，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.解在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连结AG，在AB上取点F，使AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG.又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD.F即为所求的点.又PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC面PAB.PBBC.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.设PAx则PC，由PBBCBEPC得：aa，xa，即PAa，PCa.又CE a，即GECDa，AFa.立体几何中的探索性问题典例：(14分)如图，在四
12、面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.思维启迪(1)利用DEPC证明线面平行；(2)利用平行关系和已知PCAB证明DEDG；(3)Q应为EG中点.规范解答(1)证明因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，所以DE平面BCP.4分(2)证明因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形.8分(3)解存在点Q满足条件，理由如下：9分连结DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC，AB的中点M，N，连结ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG，所以Q为满足条件的点.14分解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论.第二步：证明探求结论的正确性.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的
