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1、整式的乘除与因式分解单元复习与巩固撰稿：徐长明 审稿：赵云洁 责编：孙景艳 目标认知知识网络学习目标1、经历探索整式运算法则和因式分解方法的过程，体会数学知识之间的内在联系2、了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质；了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关 系，体会事物之间可以相互转化的思想3、会进行简单的整式乘除运算；会用提公因式法、公式法进行因式分解4、会推导乘法公式：(ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2；了解公式的几何背景，并能利 用公式进行简单的计算及其逆向变形5、使学生理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，让学生掌握什么是公因 式，掌握提公因式
2、(字母的指数是数字)和运用公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的 基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。重点：1整式的乘除法；2因式分解的两种基本方法.难点：1乘法公式的灵活运用； 2因式分解方法的综合应用。知识要点梳理知识点一：幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：amanamn(m,n为正整数)；注：此性质可以逆用，即amnaman。如：已知2a5,2b7，则2ab2a2b5735。另外三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即amanapamnp(m、n、p都是正整数)2、幂的乘方：(am)namn(m,n为正整数)；注：注意不要把幂的
3、乘方与同底数幂的乘法混淆，前者是指数相乘，后者是指数相加。3、积的乘方：(ab)nanbn(n为正整数)；注：在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误，所以在进行积的乘方运算时应先确定底数有几项，然后将这几项全都乘方，再将结果相乘。4、同底数幂的除法：amanamn(a0, m,n为正整数，并且mn).注：根据同底数幂除法的运算性质amanamn(a0, m,n为正整数，并且mn)，当指数相同时，则有ananann a01，从而诠释了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”的道理，同时，又将同底数幂除法的运算性质中mn的条件扩大为mn；而当mn时，仍然使用amanamn，则mn0
4、，便出现了负指数幂ap ( a0, p为正整数)；至此，同底数幂除法的运算性质amanamn的适用范围已不必再过分的强调m、n之间的大小关系，m、n的值也由正整数扩大到全体整数了.知识点二：整式乘法主要指两种运算：1、单项式乘以单项式；注：先确定符号，再计算绝对值这时容易出现的错误是将系数相乘与指数相加混淆，如2a33a26a5,而不要认为是6a6或5a5另外单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用2、多项式乘以单项式.注：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式在多项式乘法中，通过实例得
5、出了：含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式. 如果用a,b分别表示含有一个系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有公式：(xa)(xb)x2(ab)xab。知识点三：整式的除法整式的除法是以同底数幂的除法为基础的，主要涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式两种情况。运算法则是：1、单项式相除，把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。注：系数先相除，所得的结果作为商的系数，特别注意系数包括前面的性质符号被除式里单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏要注意运算的顺序，有乘方先算乘
6、方，有括号先算括号里特别是同级运算一定要从左至右，如：，而不是2、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。注：多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同用多项式的每一项除以单项式时，商中的每一项的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符号共同确定知识点四：乘法公式：1、平方差公式：(ab)(ab)a2b2；2、完全平方公式：(ab)2a22abb2；(ab)2a22abb2.注：()应用乘法公式时，应避免出现以下错误，如，等等；()注意乘法公式的灵活正用和逆用问题知识点五：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分
7、解.初中数学教材中主要介绍的因式分解的方法有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等。要点诠释： (1) 因式分解的对象是多项式，因式分解的结果一定是整式乘积的形式；(2) 因式分解的一般步骤是：首先看有无公因式，然后判断是否可以套用公式，最后考虑分组分解。分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止，一般情况是，最后结果只有小括号并且每个小括号中多项式首项系数为正。例如：-3x2+x=-x(3x-1)(3) 提公因式法的关键是确定公因式。即取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母各相同字母的指数取次数最低的；(4) 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢
8、记公式的特征；(5) 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。规律方法指导1、整式的乘法与因式分解在意义上正好相反,结果的特征是因式分解是积的形式,整式的乘法是和的形 式,抓住这一特征,就不容易混淆因式分解与整式的乘法.2、分解因式的一般步骤是先提取公因式，然后再利用公式。在提取公因式的过程中有很多情况应该先 将所给的多项式中的某一部分进行变形，然后才能提取公因式或者利用公式进行分解因式。常用的 变形公式是：和 (n为正整数)，即当次数是偶数时，可 以随意改变括号里面的减数和被减数的位置，当次数是奇数时，在改变减数和被减数的位置之后， 应该在括号的前
9、面加一个负号。3、在本章中多次运用转化与化归的思想方法，例如单项式乘以单项式可以转化为有理数乘法和同底数 幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可以转化为单项式乘以单项式。4、整体代换的思想方法在乘法公式中表现的特别典型，公式中的字母不仅可以代表数，而且可以表示 代数式。正是由于整体代换的思想，乘法公式才能得到广泛的应用。再比如，在研究多项式乘多项 式法则时，是把看成一个整体，运用单项式乘以多项式的法则，得到 然后再运用“单多”的运算法则即可得到 。在分解因式时，可以把看成一 个整体，提公因式，即原式=。5、本章所学的公式和法则都是既可正向运用又可逆向运用的。进行整式乘法运算时，
10、逆用公式可使计 算简便。 例如：。学会就变式运用或逆 用乘法公式，也能使运算简便。 例如：计算：。经典例题透析类型一：幂的运算性质的有关运算：1计算：(1)、103104； (2)、aa3； (3)、aa3a5(4)、(103)5； (5)、(b3)4 (6)、(2b)3；(7)、(2a3)2； (8)、(a)3；(9)、(3x)4思路点拨：(1)(2)(3)题为同底数幂的乘法，法则是底数不变指数相加。(4) (5)题为幂的乘方，法则是底数不变，指数相乘。(6)， (7)， (8)，（9）题为积的乘方，法则是积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘，并注意(7) (8)中的“”不要漏掉。解析：(1
11、)、1031041034107(2)、aa3a13a4(3)、aa3a5a4a5a9(4)、(103)510351015(5)、(b3)4b34b12(6)、(2b)323b38b3(7)、(2a3)222(a3)24a6(8)、(a)3(1)3a3a3(9)、(3x)4(3)4x481x4总结升华：在进行幂的有关运算时，应先确定该运算是何种运算，再运用该运算的法则进行计算。 (5)题 (b3)4先确定该运算是幂的乘方，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘得(b3)4b34b12幂的有关运算要求透彻理解法则的实质，在练习中多体会和总结。举一反三：【变式1】下面的计算是否正确？如有错误，请改正过来
12、。(1). (a)2a2； (2). (xy)3(yx)3；(3). a3a32a3(4). b4b4b8(5). (a4)4a44a8(6). (2x)32x3；思路点拨：(1)，(2)，题错在符号上，在本章计算中，自始至终要注意符号(3)，(4)，(5)两题的错误表现为概念不清，算理不清，法则混淆。(3)题为同底数幂的乘法，法则为底数不变指数相加。(4)题为合并同类项，法则是系数相加，字母和字母的指数不变。(5)题为幂的乘方，法则是指数相乘。 (6)题是错误的，(2x)应看作一个整体，题中没有把系数2进行3次运算，对积的乘方性质没有理解，也没有注意符号.解析：(1)错误。 改正(a)2a2
13、(2)错误。 改正(xy)3(yx)3(3)错误。 改正a3a3a33 a6(4)错误。 改正b4b42b4(5)错误。 改正(a4)4a44a16 (6)错误。 改正(2x)38x3；【变式2】计算 答案：【变式3】若是正整数，且，(1)求满足条件的共有多少对？(2)根据条件能否快速判断出的计算结果？答案：(1) 是正整数，且 满足条件的有(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)，共4对.(2) 能. 当时，类型二：整式乘除的有关运算：2下列运算是否正确，如有错误请改正过来。(1)、(a2b)3(4ab2)2(4) (a2b)(ab2)2a3b3.(2)、(3x2)(2x3x21)(3x2)2x3 (3x2)x26x53x4.(3)、 (4)、(3x2y)(4x7y)3x4y(2y)7x12x214y2.(5)、x(x23)x2(x3)3x(x2x1)x33xx33x23x33x23x.(6)、8x2(x2)(3x1)2(x1)(x5)8x2(3x22)2(x25)8x23x222x210 3x212.思路点拨：(1)本题直接运用了单项式与单项式相乘的法则，而忽视
