《切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
2、3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切OO于P, PC PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7. 与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理相交弦定理的推论切割线定理切割线定 理推论圆幕定理OO 中，AB CD为弦，交 PA- PB= PC- PD. 于P.OO 中，AB为直径，CDLABPC= PA- PB.于P.| （特殊情况）OO 中，PT切OO 于 T, PT
3、2= PA- PB 割线PB交OO于APBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD 交OO于A COO 中，割线 PB交OO 于 PC - PD = r2A, CD为弦OP2PA- PB= OP r2连结 AC、BD,证： APCA DPB.用相交弦定理.连结TA、TB ,证： PTBA PAT过P作PT BOO于T,用延长PO交OO于M延 长OP交OO于N,用相交 弦定理证；过P作切线用r为OO的半径切割线定理勾股定理证8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数（r为圆半径），因为OP2 -R2叫做点对于OO的幕，所以将上述定
4、理统称为 圆幕定理。【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,交CD于 E,求DE AE的值。图1解：由切线长定理知： AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt ADE中，由勾股定理1 315）5 = 1- - = - Aff 二 1 + 二一4 44 4例2. OO中的两条弦 AB与CD相交于 E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么CE=cm。图2解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,DR=CD-CE.6咒2 二 UE(
5、76),即 0-70+ 1.2 = 0.CE= 3cm 或 CE= 4cm=故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 朋： Q = PB： 。解：I/ P=/P/ PAC=/ B, PACA PBAAB _ PB疋二 ?AB2 _ 朗.疋药。又 PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得血2 _尸卧必-祝 ?即 A炉 d = PC故应填PCo点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3, P是OO外一点，PC切OO于点C, PAB是OO的割线，交OO于A、B两点，如果PA：PB= 1:
6、4, PC= 12cm, OO的半径为10cm,则圆心 O到AB的距离是cm。图3解：/ PC是OO的切线，PAB是OO的割线，且 PA: PB= 1 : 4 PB= 4PA=PA FS又 PC= 12cm由切割线定理，得匸.1，4R4M 二充, .PA = &亡応 PB= 4X 6= 24 (cm) AB= 24 6 = 18 (cm)设圆心O到AB距离为d cm ,由勾股定理，得故应填府。例5.如图4 , AB为OO的直径，过 B点作OO的切线BC, OC交OO于点E , AE的延长线交 BC于点D, （1）求证：C0 = CD * CE ；（ 2）若 AB= BC= 2厘米，求 CE C
7、D的长。点悟：要证II 一 1 HiMl证明：（1）连结BE月是0沏线 应为直径= AABD = 90虫百二2 = 0召二1-i:；(2)又-,:j 厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。 例6.如图5，AB为OO的直径，弦 CD/ AB AE切OO于A,交CD的延长线于 E。图5求证：a证明：连结BD,/AE切OO 于 A,/ EAD=Z ABD/ AE! AB 又 AB/ CD AE! CD AB为OO的直径/ ADB= 90/ E=Z ADB= 90 ADEA BADAD DE = AD.AD4 = AB DE CD/ AB AD= BC, EE -
8、恥 * DE例7.如图6 , PA PC切OO于A、C, PDB为割线。求证：AD- BC= CD- AB图6点悟：由结论 AD- BC= CD- AB得应二炭，显然要证厶PADA PBA和厶PCDA PBC证明： PA切OO于A ,/ PAD=Z PBA又/ APD=Z BPA PADA PBAAH AF/ PA PC分别切OO于A、C PA= PCM .空. AH BC AD- BC= DC- AB例8.如图7,在直角三角形 ABC中，/ A= 90，以 AB边为直径作O O,交斜边 BC于点D,过D点 作OO的切线交AC于 E。图7求证：BC= 2O吕点悟：由要证结论易想到应证 。丘是厶
9、ABC的中位线。而 OA= OB只须证AE= CE,证明：连结OD/ ACL AB AB为直径 AC为OO的切线，又 DE切OO于D EA= ED, ODL DE/ OB= ODB=Z ODB在 Rt ABC中，/ C= 90/B/ OD= 90.厶皿二 -ODB/ C=Z EDC ED= EC AE= EC OE是厶ABC的中位线 BC= 2OEn例9.如图8,在正方形 ABCD中, AB= 1 , AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点En是边AD上的任意一点（点 E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边 DC于点F, G 为切点。当/DEF= 45。时，求证点 G为线段E
10、F的中点；图8解：由/DEF= 45,得ZDFS = $0 -亍 / DFE=Z DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因为AB是圆B的半径，ADL AB所以 AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点G又因为EF切圆B于点G 所以AE= EQ FC= FG因此EG= FG,即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 已知：PA PB切OO于点A、B,连结AB,若AB= 8，弦AB的弦心距3,则PA=（）2025A. 弓B.弓C. 5D. 82. 下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与OO相切于C,AB
11、为直径，/ CAB= 40,则/ MCA的度数（）图1A. 50 B. 40OC. 60D. 554. 圆内两弦相交，一弦长 8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在厶ABC中，D是BC边上的点，AD讥，BD= 3cm,DC= 4cm,如果E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（)A.B.C.2叫挖訥D.6. PT切OO于T, CT为直径，D为OC上一点，直线 PD交OO于B和A B在线段PD上，若Ct=2, AD= 3, BD= 4,贝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.3/5二
12、、填空题7. AB 、CD是OO切线，AB/ CD EF是OO的切线，它和 AB CD分别交于 E、F,则/ EOF= 度。8. 已知：OO和不在OO上的一点 P,过P的直线交OO于A、B两点，若 PA- PB= 24, OP= 5,贝hoo的半径长为。9. 若PA为OO的切线，A为切点，PBC割线交OO于B、C,若BC= 20,，贝U PC的长为。10. 正厶ABC内接于O O,MN分别为ABAC中点，延长MN交OO于点D,连结BD交AC于P,PC _则血 。三、解答题11. 如图2, ABC中，AC= 2cm,周长为8cm,F、K、N是厶ABC与内切圆的切点，DE切OO于点M 且 DE/
13、AC 求 DE的长。图212. 如图3,已知P为OO的直径AB延长线上一点，PC切OO于C, CDLAB于D,求证：CB平分 / DCP图313. 如图4，已知AD为OO的直径，AB是OO的切线，过 B的割线BMN交 AD的延长线于 C,且 BM= MN= NC若A歹2喘，求OO的半径。图4【试题答案】一、选择题I. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空题7. 908. 19. 3010.2三、解答题：II. 由切线长定理得厶BDE周长为4,由厶BD0A BAC得 DE= 1cm12. 证明：连结AC贝U ACL CB/ CDLAB ACBo CDB :丄 A=Z1/ PC为OO 的切线，/ A=Z 2,又/ 1 = Z 2, BC平分/ DCP13. 设 BM= MN= NC= xcm又- - .- *I -.： ./ - - - .- .又/ OA是过切点 A的半径， OALAB即ACLAB在Rt ABC中，由勾股定理，得,AC=-脑=癒丸=2凤闻由割线定理：UD %二也厂，又.OD = 且-AD.半径为
