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1、固体物理学复习资料填空题1. 自然界中晶格的类型有很多,但是按结构划分,晶体可分为_8_大晶系，_由N个原胞构成的晶体，原胞中有n个原子，晶体共有_3nN_个独立振动的正则频率。能带顶部电子的有效质量为_负_；能带底部电子的有效质量为_正_。在晶格热容的量子理论中，爱因斯坦模型的特点是。在晶格热容的量子理论中，德拜模型的特点是_。11. 如果在一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为12. 在波矢空间中,状态密度等于。13. 固体物理学中晶格最小周期性单元叫作_原胞_。14. 一维晶体中正格子基矢与倒格子基矢乘积等于。15. 能带顶部电子的有效质量为；能带底部电子
2、的有效质量为16. 设为正格子原胞的体积v,则倒格子原胞的体积为。c二简答题（共40分,每题5分）：1什么是声子？写出声子的能量和动量表达式。答：晶格振动中的简谐振子的能量量子。在晶体中存在不同振动频率的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用声子来描述，把声子看作具有能量方,sq）、动量耐的玻色子，但声子并不是真正的粒子，声子可以被激发，也可以湮灭，有相互作用时声子数不守恒。2晶态，非晶态，准晶态在原子排列上各有什么特点？答：晶态：原子做周期排列，长程有序；非晶态：原子排列短程有序，长程无序。；准晶态原子排列位置有序，但无周期性。3. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？答：费米能级其中n是单位体积
3、内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n变小，费米能级降低。4. 将粒子看作是经典粒子时，它的速度和运动方程是什么？5. 晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？答：自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的_个布拉伐格子2. 正四面体群总共包含有_24_个对称操作，六角密排晶格群总共包含有_24_个对称操作。2. 简单立方晶格的倒格子是_简单立方_，面心立方晶格的倒格子是_体心_3. 不能在平面内周期重复排列的多边形是_正五边形_。4. 若三维晶格结构的原胞中有p个原子，那么在晶体中有_3p-3支光学波。5. 对于原胞数为N,相
4、邻原子间距为a的一维双原子链，满足玻恩-卡曼边界条件的波数q能量，称为晶体的结合能。原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。在0k时，原子还存在零点振动能，但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。所以，在Ok时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。6为什么许多金属为密积结构？答：金属结合中，受到最小能量原理的约束，要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低（绝对值尽可能的大）。原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠得就越紧密，库仑能就越低。所以，许多金属的结构为密积结构。7. 晶体中包含有N个原胞，每个原胞有n个原子，该晶体晶格振动的格波简正模式总数是
5、多少？其中声学波和光学波各有多少？答：3nN、其中声学波3N、光学波（3n-3）N8. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。答：金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为导带。绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带（空带）与价带间相隔较宽的禁带。半导体和绝缘体相似，但禁带较窄。9. 简单解释布洛赫定理答：当势场具有晶格周期性时，即V（+Rn）,M）,%为晶格矢量单电子薛定谔的波函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即6)，eik-ru6)kk且ur+R丿，u(f)knk波函数也具有如下性质：+R）=eikR”6）n10. 解释布里渊区和第一布里渊区（
6、BrillourinZone,FirstBrillourinZone）答：在倒格子空间，以一格点为原点，此格点与其余格点连线的垂直平分面所围成的区域称为布里渊区。其中包含原点在内的最小封闭区域（WS原胞）为第一布里渊区，与第一布里渊区连通的区域（三维时面连通，二维时线连通）为第二布里渊区。11. 解释有效质量（Effectivemass）答：在晶体中电子输运半经典模型中引入有效质量张量，表达在外场力作用下，与牛顿方程类比，电子运动所具有的相应质量。12. 解释费米面（Fermisurface）答：是指K空间中电子填充区和未填充区的分界面。13. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何区别？答：长
7、光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。14温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？答：频率为3的格波的（平均）声子数为（）因为光学波的频率O3比声学波的频率A3高，I，所以在温度一定的情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？答：按照爱因斯坦温度的
8、定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约是1013Hz,属于光学支频率。但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没有考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。16. 在甚低温下，德拜模型为什么与实验相符？答：在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波，长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献，因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。17. 在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？答：频率为的格波的振动能为iiin
9、wh1/其中是由个声子携带的热振动能，2ihw是零点振动能。声子数（）绝对零度时=0.in，频率为iw的格波的振动能只剩下零点振动能。格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的。绝对零度时声子消失，格波间不再交换能量。18简述近自由电子近似模型，方法和所得到的主要结论。答：考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势卡的起伏较小。作为零级近VV”似，、可以用势场的平均值代替离子产生的势场：V。周期性势场的起伏量VV,AV作为微扰来处理。当两个由相互自由的矩阵元状态k和k，k+Gn的零级近k24.设一维晶体的电子能带可以写成（16分）力271E(k)，(-coska+cos2ka)ma288式中
10、a为晶格常数。计算1）能带的宽度；2）电子在波矢k状态时的速度；3）能带底部和能带顶部电子的有效质量。5（15分）设一维晶体中的单电子势（即晶体势能场）为1V(x),I2m2b2-(x-na)20nabxna+b(n1)a+bxnab其中，a=4b,为常数。（1）画出此势能曲线，计算势能的平均值；（2）根据近自由电子近似方法，求出晶体中第一个以及第二个禁带的宽度。解答由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可：VLJ.vGkx_L卜vGkxaa24b2bifbi(,m32X2丿dxm28b4bb21m32b26b2)禁带宽度的表示为：Eg=2VnlVV(x)其中n是周期势场W傅立叶级数的
11、系数:V1Ja2V(x)einxdxnaa2E2Vigi24b21Ja2vd：xdxaa2bm32()2-X2axdxb2i4bJb-b1m322(b2-X2Cosx12b丿dx08m32b2第一禁带宽度为:7.(15分)考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交替地等于c和10c。令原子质量相同，且最近邻距为2，试求在q0和a处的33，并大略地画出色散关系。解答如图所示的双原子链c10cooo按题设条件，运动方程为d2usdt2d2Vsdt2c(V-u)+10c(V-us-isss10c(u-V)+c(u-Vsss+1s00uueisqae-itVVeisqae-it设解为0将将1
12、)式代入式中，得一M2u=cO+一11cu-M2V=ciqa+io/-11cV（3）是U,V的线性齐次方程组，存在非零解的条件是MO2-11cco+e-iqa（）、二0（4丿C、iqa+10丿M2-11c解出M2422Mc2+20c2(1cos二0c2二-所以土M1土121-20(1-cosqaJ（5）（6）22c2=+M2+q=2当a时一20c2cM_（7）（8）2与q的关系如图所示这是模拟一个双原子分子晶体的例子，分子内原子间的力常数要比分子间的力常数大的多。反映分子整体振动的声学波频率决定于分子间比较弱的相互作用，频率较低。而反映分子内原子的相对振动的光学波，决定于分子内原子比较强的相互作用，其振动频率要比声学波高得多。8证明:倒格子矢量G=h1b1X2h3b3垂直于密勒指数为（h1叽）的晶面系（11分）。解答ab=
