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1、课时达标检测(四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且，2，1，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值解：(1)由题易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知
2、，|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2，(y1y20)从而，由2，1得，从而2，解得0k2.令t，则t，|28t228t1682，当t时，|QC|min2.2已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2,0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线
3、PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.3(2018南通模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1
4、)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件知，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，知S1|x1x2|2，令k23t，知t3，S2.对函数yt(t3)，知y10，yt在t3，)上单调递增，t，0，0S.故OAB面积的取值范围为.二、重点选做题1(2018丹阳期初)过离心率为的椭圆C：1(ab0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|FB|，T(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若12，求ABT中AB边上中线长的取值范围解：(1)e
5、 ，c1，a，b1，即椭圆C的方程为：y21.(2)当直线的斜率为0时，显然不成立设直线l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，由|FA|FB|，得y1y2，2，m2，又AB边上的中线长为 | | .2(2018南京模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点. 若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：OPOQ.解：(1)由题意，得，1，结合a2b2c2，解得a26，b23.所以椭圆的方
6、程为1.(2)椭圆C的右焦点F(，0)显然切线的斜率存在，设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)由方程组解得或所以点P，Q的坐标分别为，所以|PQ|.因为O到直线PQ的距离为d，所以OPQ的面积为S|PQ|d. 由椭圆的对称性知，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为.综上所述，OPQ的面积为.证明：()若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x.当x时，P(，)，Q(，)因为0，所以OPOQ.当x时，同理可得OPOQ.()若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0.因为直线与圆相切，所以，即m22k22.将直线PQ的方程代入椭圆
7、方程，得(12k2)x24kmx2m260.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm2.将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ.综上所述，OPOQ.三、冲刺满分题1.已知椭圆C：1(0b2)的离心率为，与坐标轴不垂直且不过原点的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B(如图所示)，过AB的中点M作垂直于l1的直线l2，设l2与椭圆C相交于不同的两点C，D，且.(1)求椭圆C的方程；(2)设原点O到直线l1的距离为d，求的最大值解：(1)依题意得，解得b21，所以椭圆
8、C的方程为y21.(2)设直线l1：ykxm(k0，m0)，由得(14k2)x28kmx4m240，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故M.l2：y，即yx.由得x2x40，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3x4，故N.故|MN|xMxN| .又d，所以.令tk21(t1)，则12(当且仅当t2时取等号)，所以的最大值为.2(2018苏州高三暑假测试)如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围解：(1)由题意B(0,1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立，解得或(舍)，即M.连结BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa2，点M到直线BF的距离d.故SMBFBFd2.(2)设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，所以k1m，k2，所以k1k2m为定值由知，(m,3)，m，2，所以(m,3)，令m24t4，故t7，因为yt7在t(4，)上单调递增，所以t7479，即的取值范围为(9，)1
