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1、圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪1. 直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2. 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3. 坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随 着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点
2、的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4. 参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标（x, y）中的x, y分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程， 只要消去参变量即可。5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小试牛刀1.已知M
3、 （-3,0）, N （3,0） PM PN 6,则动点P的轨迹方程为析：Q MN PM PN .点P的轨迹一定是线段 MN的延长线。故所求轨迹方程是y 0（x 3）22222. 已知圆。的万程为x y 2,圆O的万程为x y 8x 10 0 ,由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为析：.圆。与圆O外切于点M（2,0）两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为x 222x y3. 已知椭圆 土 1（a b 0） ,M是椭圆上一动点，Fi为椭圆的左焦点，则线段MFia b的中点P的轨迹方程为析：设P（x, y） M （x。，y。）又F（
4、 c,0）由中点坐标公式可得：x cx 2y0y 7x 2xy0 2yC又点叩*）在椭圆号2七 1(a b 0)上 b22. X0 2a4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点,P是动点，若OP OA (AB则点P的轨迹一定过三角形 ABCO是平面1BC), 2心。ABC内的0,析：设点D为BC的中点,显然有的重uuu uuu uur OP OA APBZuurABuuuAP1 uiun BC 2uurAD,uuu uurAB BDuuurAD0,故点P的轨迹是射线AD ,所以，轨4 1(a b 0)因此中点P的轨迹方程为(2x c) 4y b2迹一定过三角形的重心。二、大显身手1、直接法例1
5、、设过点P (x,y)的直线分别与 x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A、B两点，点Q 与点P关于y轴对称，若BP 2PA,且OQ AB 1,则P点的轨迹方程为解：设 A(a,0), B(0,b)又 P(x, y)uuruuu所以 BP (x,y b), PA (a x, y)又 BP 2PA 所以 x 2(a x)a 2xy b 2yb 3y3unn 3A(3x,0), B(0,3y) AB ( x,3y)(x,y)uuur而Q点与P点关于y轴对称，.点 Q的坐标为(x, y)即OQ又OQ AB 1所以jx2 3y2 1这个方程即为所求轨迹方程。变式1、已知两点M (-2,0), N (2,0
6、)，点P满足MN MP MN NP 0,动点P的轨迹方程为./22 uuuuuur解:设 P(x, y)则：MN 4,|MPJ(x2)2y2,MN(4,0), NP(x 2, y).又 MN| |MP MN NP 04j(x 2)2 y2 4(x 2) 0化简得所求轨迹方程为：寸 8x2、定义法例 2、 已知圆 A 的方程为 (x 3)2 y2 100，点 B (-3,0), M 为圆 O 上任意一点，BM的中垂线交 AM于点P,求点 P的轨迹方程。解：由题意知：MP BPPB PA MP PA AM又圆 A 的半径为 10 , 所以AM| 10 PA |PB 10即点P的轨迹是以定点 A(3
7、,0) B(-3,0)为焦点,(椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外)其轨迹方程为2 x2 y_1(x5)251610为长轴的椭圆变式2、已知椭圆2x2 a2。1(a b 0)的焦点为 b2F1,F2 , P是椭圆上的任意一点，如果 M是线段F1 P的 中点，则动点 M的轨迹方程是解：因为M是线段F1P的中点，连接 OM,贝U1|OM| JPF2 |MF1 2PF1由 椭 圆 的 定 义 知 ：1 .PF1 |PF2| 2a|MF1 |MO -(PF1 PF2) a即点M到定点O、定点F1的距离和为定值 a,故动点M的轨迹是以O、R为焦点,以a为长轴的椭圆,其方程为4(x |)2a2(说明：此题
8、也可以用代入法解决)3、坐标转移法(代入法)22例3、从双曲线x y 1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设Q(x0, y0)则由x y为y。可得n点坐标x y 2 0x V。2x 2x。y。22设 P(x,y)由中点坐标公式可得：3x。 y。22x0 3y。222x2y2xo2y3xy3y2222 又点Q(xo,yo)在双曲线x y 1上,所以4x2 4y2代入得(3x2)2 (x 3y 2)21 2化简得(x )221，-即为所求轨迹方程。2变式3、自抛物线y2 2x上任意一点p向其准线1引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点 F与Q的直
9、线交于R,求点R的轨迹方程。解：设R(x, y), Plxy。)抛物线的方程是 y2 2x_ 1-1、 f(2，),q( 2，y。)所以 直线OP的方程是y0x x0x 。直线qf的方程是 v0x y联立两方程得:X0y。2x2x 12y2x 1：y。o2又 y。2x。所以(言4、参数法2(W)化简得：2x2 y2 2x 1x 。即为所求轨迹方程。2例4、设椭圆方程为x2 1 ,过点M (。,1)的直线l交椭圆于4A、B,点P满足OP 1(OA oB),点N(1,1),当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程;(2) |Np的最大、最小值。解：（1）设直线l的方程为y kx 1代入椭圆
10、方程得(4 k2)x2 2kx 3 0设 A(x1, y1), B(x2, y2)则Xi2kyi y2 k(xiX2) 22k2k2设动点P的坐标为(x, y),由 OP1 一(OA OB)可得2x1 x2x 2y2k4k2消去参数顽当斜率k不存在时，点P的坐标为k即得所求轨迹方程为:（0,0）显然在轨迹上,4x2y2 y 02故动点P的轨迹万程为4x（2） P点的轨迹方程可以化为16x2 4（y ；）2，111.、 所以可设点 P的坐标为（一cos，一 sin ）则1）2（2 sin2）2 L312PN2 J (cos43 , (cos16)2所以当cos2时 PN3max32cos 162
11、1:当 cos62变式4、过抛物线y 2x的顶点作互相垂直的两弦（1）求弦AB的中点的轨迹方程；（2）证明：直线 AB 解：（1）由题意知OA的斜率存在且不为零，设为 k1-cos41时PNminOA、OB.与x轴的交点为定点。则直线OA的方程为y kx与抛物线y2 2x联立可得点A的坐标为（号,）同理可得点B的坐标为（2k2, 2k） 设弦AB的中点为M （x,y）则x k21k2消去k得弦AB的中点的轨迹方程为ky2 x 2(2)直线AB的斜率为kARAB所以，其方程为y 2k -1k1 k2k , c. 2、c(x 2k )令 y 0 得 x 2k2故直线AB与x轴的焦点为定点(2,0)
12、5、交轨法2例5、垂直于x轴的直线交双曲线弓 1于M、N两点, b2A , A2为双曲线的顶点，求直线A1M与A2 N的交点P的轨迹方程， 并指出轨迹的形状。解：.解：(1)设M点的坐标为(xi,yi),则N点坐标为(xi, -四,乂有 A( a,0),A2(a,0)则A1M的方程为：y=一丑一 (x a)x1 aA2N的方程为：y=y1一(x a)x1 ax得：y2=- -yl(x2 a2)x1a乂因点M在双曲线上,2 x_ 2 a2yb2、(xaa2).2代入并整理得亳a2&=1.此即为P的轨迹方程.b22变式5、设点A、B为抛物线y 2px( p 0)上除原点以外的两个动点，已知OALOB,OM AB于M求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。1解：设 OA=y=kx,则 OB : y xkI 成得 A(2p,勿)同理 B(2pk 2, -2pk)y 2pxk kkABAB: y2p1 .2pk kkkk2p 21 /11 k222pk-vk-kk2k2kk2 k2pk厂一(x2pk) =x1 k1 k 1k2pk3y x 2pk 21 k1 k1 k2 而 op: y x.kkx1 k2pk1k22pk
