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1、第四章 圆与方程一、选择题1圆C1 : x2y22x8y80与圆C2 : x2y24x4y20的位置关系是( )A相交B外切C内切D相离2两圆x2y24x2y10与x2y24x4y10的公共切线有( )A1条B2条C3条D4条3若圆C与圆(x2)2(y1)21关于原点对称,则圆C的方程是( )A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x1)2(y2)21D(x1)2(y2)214与直线l : y2x3平行,且与圆x2y22x4y40相切的直线方程是( )Axy0B2xy0 C2xy0D2xy05直线xy40被圆x2y24x4y60截得的弦长等于( )AB2C2D46一圆过圆x2y22
2、x0与直线x2y30的交点,且圆心在轴上,则这个圆的方程是( )Ax2y24y60Bx2y24x60Cx2y22y0Dx2y24y607圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是( )A30B18C6D58两圆(xa)2(yb)2r2和(xb)2(ya)2r2相切,则( )A(ab)2r2B(ab)22r2 C(ab)2r2D(ab)22r29若直线3xyc0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x2y210相切,则c的值为( )A14或6B12或8C8或12D6或1410设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的
3、距离|CM| ( )ABC D 二、填空题11若直线3x4y120与两坐标轴的交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的一般方程为_12已知直线xa与圆(x1)2y21相切,则a的值是_13直线x0被圆x2y26x2y150所截得的弦长为_14若A(4,7,1),B(6,2,z),|AB|11,则z_15已知P是直线3x4y80上的动点,PA,PB是圆(x1)2(y1)21的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为 三、解答题16求下列各圆的标准方程:(1)圆心在直线y0上,且圆过两点A(1,4),B(3,2);(2)圆心在直线2xy0上,且圆与直线xy10切于点M(2,1
4、)17棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标18圆心在直线5x3y80上的圆与两坐标轴相切,求此圆的方程19已知圆C :(x1)2(y2)22,点P坐标为(2,1),过点P作圆C的切线,切点为A,B(1)求直线PA,PB的方程;(2)求过P点的圆的切线长;(3)求直线AB的方程20求与x轴相切,圆心C在直线3xy0上,且截直线xy0得的弦长为2的圆的方程参考答案一、选择题1A解析:C1的标准方程为(x1)2(y4)252,半径r15;C2的标准方程为(x2)2(y2)2()2,半径r2圆心距
5、d因为C2的圆心在C1内部,且r15r2d,所以两圆相交2C解析:因为两圆的标准方程分别为(x2)2(y1)24,(x2)2(y2)29,所以两圆的圆心距d5因为r12,r23,所以dr1r25,即两圆外切,故公切线有3条3A解析:已知圆的圆心是(2,1),半径是1,所求圆的方程是(x2)2(y1)214D解析:设所求直线方程为y2xb,即2xyb0圆x2y22x4y40的标准方程为(x1)2(y2)21由1解得b故所求直线的方程为2xy05C解析:因为圆的标准方程为(x2)2(y2)22,显然直线xy40经过圆心所以截得的弦长等于圆的直径长即弦长等于2(第6题)6A解析:如图,设直线与已知圆
6、交于A,B两点,所求圆的圆心为C依条件可知过已知圆的圆心与点C的直线与已知直线垂直因为已知圆的标准方程为(x1)2y21,圆心为(1,0),所以过点(1,0)且与已知直线x2y30垂直的直线方程为y2x2令x0,得C(0,2)联立方程x2y22x0与x2y30可求出交点A(1,1)故所求圆的半径r|AC|所以所求圆的方程为x2(y2)210,即x2y24y607C解析:因为圆的标准方程为(x2)2(y2)2(3)2,所以圆心为(2,2),r3设圆心到直线的距离为d,dr,所以最大距离与最小距离的差等于(dr)(dr)2r68B解析:由于两圆半径均为|r|,故两圆的位置关系只能是外切,于是有(b
7、a)2(ab)2(2r)2化简即(ab)22r29A解析:直线y3xc向右平移1个单位长度再向下平移1个单位平移后的直线方程为y3(x1)c1,即3xyc40由直线平移后与圆x2y210相切,得,即|c4|10,所以c14或610C解析:因为C(0,1,0),容易求出AB的中点M,所以|CM|二、填空题11x2y24x3y0解析:令y0,得x4,所以直线与x轴的交点A(4,0)令x0,得y3,所以直线与y轴的交点B(0,3)所以AB的中点,即圆心为因为|AB|5,所以所求圆的方程为(x2)2即x2y24x3y0120或2解析:画图可知,当垂直于x轴的直线xa经过点(0,0)和(2,0)时与圆相
8、切,所以a的值是0或2138解析:令圆方程中x0,所以y22y150解得y5,或y3所以圆与直线x0的交点为(0,5)或(0,3)所以直线x0被圆x2y26x2y150所截得的弦长等于5(3)8147或5解析:由11得(z1)236所以z7,或5(第15题)15解析:如图,S四边形PACB2SPAC|PA|CA|2|PA|,又|PA|,故求|PA|最小值,只需求|PC|最小值,另|PC|最小值即C到直线3x4y80的距离,为3于是S四边形PACB最小值为三、解答题16解:(1)由已知设所求圆的方程为(xa)2y2r2,于是依题意,得 解得故所求圆的方程为(x1)2y220(2)因为圆与直线xy
9、10切于点M(2,1),所以圆心必在过点M(2,1)且垂直于xy10的直线l上则l的方程为y1x2,即yx3由 解得即圆心为O1(1,2),半径r故所求圆的方程为(x1)2(y2)2217解:以D为坐标原点,分别以射线DA,DC,DD1的方向为正方向,以线段DA,DC,DD1的长为单位长,建立空间直角坐标系Dxyz,E点在平面xDy中,且EA所以点E的坐标为,又B和B1点的坐标分别为(1,1,0),(1,1,1),所以点F的坐标为,同理可得G点的坐标为18解:设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2,因为圆与两坐标轴相切,所以圆心满足|a|b|,即ab0,或ab0又圆心在直线5x3y80上,所
10、以5a3b80由方程组 或解得或所以圆心坐标为(4,4),(1,1)故所求圆的方程为(x4)2(y4)216,或(x1)2(y1)2119解:(1)设过P点圆的切线方程为y1k(x2),即kxy2k10因为圆心(1,2)到直线的距离为, 解得k7,或k1故所求的切线方程为7xy150,或xy10(2)在RtPCA中,因为|PC|,|CA|,(第19题)所以|PA|2|PC|2|CA|28所以过点P的圆的切线长为2(3)容易求出kPC3,所以kAB如图,由CA2CDPC,可求出CD设直线AB的方程为yxb,即x3y3b0由解得b1或b(舍)所以直线AB的方程为x3y30(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解20解:因为圆心C在直线3xy0上,设圆心坐标为(a,3a),圆心(a,3a)到直线xy0的距离为d又圆与x轴相切,所以半径r3|a|,设圆的方程为(xa)2(y3a)29a2,设弦AB的中点为M,则|AM|在RtAMC中,由勾股定理,得()2(3|a|)2解得a1,r29故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29,或(x1)2(y3)29