《新教材数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第二章 空间向量与立体几何 167;4 第1课时 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第二章 空间向量与立体几何 167;4 第1课时 Word版含答案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、（新教材）北师大版精品数学资料4用向量讨论垂直与平行第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标1.了解空间点、线、面的向量表示.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题知识点一空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb(kR)线面平行laa0面面平行vkv(kR)知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量若直线l1l2，则向量v1，v2应满足什么关系(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些
2、条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1l2v1v2v1v2(R)(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论知识点三平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，
3、求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量1若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()2两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直()3若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行()4若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()类型一求平面的法向量例1已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1
4、,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解设平面ABC的法向量为n(x，y，z)A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，(2,1,3)，(1，1,0)则有即解得令z1，则xy3.故平面ABC的一个法向量为n(3,3,1)反思与感悟利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的跟踪训练1如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量考
5、点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则，.向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则即取x2，得y1，z1，故平面SDC的一个法向量为(2，1,1)类型二利用空间向量证明平行问题例2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.考点直线的方向向量与平面的法向量题点向量法求解面面平行证明(1)以D
6、为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2
7、)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由考点直线的方向向量与平面的法向量题点向量法求解线面平行解存在点E使CE平面PAB.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，P(0,0,1)，C(
8、1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)(0,2,0)0.y1，代入得z，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.1已知l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(，4,6)，若l1l2，则等于()A1B2C3D4考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案B解析由l1l2，得v1v2，得，故2.2已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a(1,0,2)，b(6,21,2)，若l1l2，则与的值可以分别是()
9、A2，B，C3,2D2,2考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案A解析由题意知解得或3若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3) B(1,3,2) C(2,1,3) D(3,2,1)考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案A解析因为(2,4,6)，所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量4若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m为()A4B6C8D8考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案C解析l，平面的法向量为，(2，m,1)0，2m20，m8.5在正方体ABCDA
10、1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案(1,1,1)(答案不唯一)解析不妨设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，设平面ACD1的一个法向量a(x，y，z)，则a0, a0.因为(1,1,0)，(1,0,1)，所以所以所以不妨取x1，则a(1,1,1)(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)1应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内的
11、某一直线的方向向量共线(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)一、选择题1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为，则能使l的是()Aa(1,0,0)，(2,0,0)Ba(1,3,5)，(1,0,1)Ca(0,2,1)，(1,0,1)Da(1，1,3)，(0,3,1)考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案D解析由l，故a，即a0，故选D.2已知直线l1的方向向量a(2，
12、3,5)，直线l2的方向向量b(4，x，y)，若两直线l1l2，则x，y的值分别是()A6和10B6和10C6和10D6和10考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案A解析由两直线l1l2，得两向量a，b平行，即，所以x，y的值分别是6和10.3直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的一个法向量为n(2，x2x，x)，若直线l，则x的值为()A2BC.D考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案D解析依题意得，121(x2x)1(x)0，解得x.4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.考点直线的方
13、向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)令x1，则y1，z1，n(1,1,1)，单位法向量为.5设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBl?ClDl?或l考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案D解析当ab0时，l?或l.6已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()AB6C6D.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案B解析，的法向量与的法向量也互相平行，6.7已知平面内两向量a(1,1,1)，b(0,2，1)且cmanb(4，4,1)若c为平面的法向量，则m，n的值分别为()A1,2B1，2C1,2D1，2考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案A解析cmanb(4，4,1)(m，
