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1、集 合 与 简 易 逻 辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A,记为xw A,否则称X不属于A,记作 A。例如，通常用 N, Z, Q, B, Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数 集，不含任何元素的集合称为空集，用0来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1, 2, 3;描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数, XX A 0分
2、别表示有理数集和正实数集。定义2子集:对于两个集合 A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合 B中的元素，则 A叫做B的子 集，记为A三B ,例如N三Z。规定空集是任何集合的子集，如果 A是B的子集，B也是A的子集，则称 A与B相等。如果 A是B的子集，而且 B中存在元素不属于 A,则A叫B的真子集。定义 3 交集，An B =XXW A且XW B.定义 4 并集，AU B =XXW A或XW B.定义5补集，若 A J I,则C1A =x X W I ,且X更A称为A在I中的补集。定义6差集，A B =XXW A,且x正B。定义7集合xaxb,xw R, a b记作开区间(a,b),集合x
3、a Ex Eb,x w R,a b记作闭区间a,b, R记作(一。白,+道).定理1集合的性质：对任意集合A, B, C,有：(1) aPI(bUc)=(aT B)U(APiC); (2) AU(BlC)=(AUB)n(AUC)；(3) C1 AUC1 B =C1 (AB); (4) C1 A B =C1 (AU B).【证明】这里仅证(1)、( 3),其余由读者自己完成。(1)若xwaC(bUc),则xA,且xB或xC,所以*三(庆口8)或*亡(庆口0,即 x(AB)U(AriC);反之，xW (A B)U(aCc),则 xW(AB)或 x (AC),即 x= A 且 xw B或 xC ,即
4、 xw A 且 xw (BUc),即 x An(bUc).(3)若X w Ci AUCi B ,则X W Ci A或X w Ci B ,所以x皂A或x皂B ,所以x皂(A B),又 xW I ,所以 x WC1 (Al B),即 Ci aUCi B Ci (aQ B),反之也有 Ci (A口 B)工 Ci aU。B. 定理2加法原理：做一件事有 n类办法，第一类办法中有mi种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，第n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N =m十m2 十.十mn种不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分 n个步骤，第一步有 m1种不同的方法，第二步有 m2种不
5、同的方法，第 n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N =m1 .m2mn种不同的方法。二、方法与例题1 .利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设 M =aa = x2 -y2,x,y w Z,求证：(1) 2k -1= M ,(k WZ)； 4k 2 w M ,(k w Z)；(3)若 p 亡 M ,q w M ,则 pq 亡 M .证明(1)因为 k,k 一1 亡 Z ,且 2k -1 =k2 (k -1)2,所以 2k -1 w M .(2)假设4k 2 w M (k w Z),则存在x, y w Z ,使4k 2 = x2 y2,由于x y和x+ y有相同的奇 偶
6、性，所以x2 y2 =(x y)(x + y)是奇数或4的倍数，不可能等于 4k2,假设不成立，所以4k - 2 - M .(3)设 p =x2 y2,q =a2 b2,x,y,a,bwZ ,则 pq = (x2 y2)(a2 b2) (因为 xa _ ya w Z, xb _ ya w Z )。2 .利用子集的定义证明集合相等，先证 A = B ,再证B三A ,则a=b。例2设A, B是两个集合，又设集合 M满足aCim = bm = aH b,aUbUm =aUb,求集合 M (用 A, B表示)。【解】先证(An B)M ,若x w (An B),因为An M = a，B ,所以xw A
7、, M , xw M，所以 (A，B)= M ；再证 M (Al B),若 xw M，则 xw AU BU M = AU B.1)若 x w A,则 x w A M = AC B ; 2) 若 xwB,则 xwBM =aQb。所以 M c (aD B).综上，M = A B.3 .分类讨论思想的应用。伤J 3 A =xx2 3x + 2 = 0, B =xx2 ax + a 1 = 0, C = xx2 - mx + 2 = 0,若 aUb = A, AC =C，求 a,m.解解】依题设，A =1,2,再由x2 -ax + a -1 =0解得x = a -1或x = 1,因为AUB = A,所
8、以B= A,所以a1亡A,所以a1 =1或2,所以a = 2或3。因为 aCC=C，所以 C JA,若 C=0 ,则 A=m2 80,即2，2cm 24万，若 C#0 , 则1 wC或2WC,解得m=3.综上所述，a=2 或 a=3; m =3或2 J2Mme 2，2。4 .计数原理的应用。例4集合A, B, C是I=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0的子集，(1)若AU B = I ,求有序集合对(A, B)的个数；(2)求I的非空真子集的个数。【解】(1)集合I可划分为三个不相交的子集；AB, BA, A Q B,I中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310
9、种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。(2) I的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步， 2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有 210 =1024 个，非空真子集有 1022个。5 .配对方法。例5给定集合I =1,2,3:一，n的k个子集：Ai , A2；,l , Ak ,满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2n，对，每一对不能同在这 k个子集中，因此，k 1)
10、个抽屉，必有一个抽屉放有不少于m + 1个元素，也必有一个抽屉放有不多于 m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。除J 6 求1, 2, 3,，100中不能被2, 3, 5整除的数的个数。【解】 记I =1,2,3,100, A =x1 Ex100，且x能被2整除(记为2x),B =x1 x 100,3x, C =x1 x 100,5x,由容斥原理,aUbUc =|a +|b + C ab bDcCnA+lABlC =悭十禺十! 2！ 3愕曙陶-曙H果卜2 3 5整除的数有W-AUBUC、26 个。区J 7 S是集合1, 2,，2004的子集，S中的任意两个数的差不等
11、于4或7,问S中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组，分成 数在同一组，与已知矛盾，所以6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个S至多含有其中5个数。又因为 2004=182X 11+2,所以S 一共至多含有182x5+2=91妗元素，另一方面，当 S=rr =11k+t,t =1,2,4,7,10,r 2),使得存在实数 a1 ,a2，an满足:【解】 当 n = 2 时，a1 =0,a2 =1；当 n=3时，a1 =0,a2 =1,a3 = 3 ；当 n = 4
12、 时,a1 =0,a2 =2e3 =5, a=1。下证当n之5时，不存在a1且2,，an满足条件。人八n(n -1)令 0 =a1 a2an,则 an =-.2所以必存在某两个下标i j ,使得ai -aj =an -1,所以an -1 = ana1 = an或.(n(n 7)/n(n -1)a2 =1an -1 =an -a2,即 a? =1,所以 an = 八冏=an 1 或a。=、J ,22(i)若 ann(n -1),an二an21,考虑 an _2 ,有 an _2 = anJ2或 an -2 = an a2 ,即 a2 = 2 ,设an_2 =an -2,则an,an_2 = an
13、 an，导致矛盾，故只有 a2 =2.考虑 an 3,有 an 3=an/或 an 3 = an a3 ,即 a3 = 3,设 an 3 = an/,则an二一 an4 = 2=a2 -a0,推出矛盾，设 a3 =3,则an - an=1=a3-a2,又推出矛盾， 所以anz =a2,n = 4故当n至5时，不存在满足条件的实数。(日)若 an = nnn0=1,考虑 an 一2 ,有 an 2 = an或 an 2 = an a3,即 a3 = 2 ,这时2a3 a2 = a2 - a1 ,推出矛盾，故 an=an2。考虑 an 3 ,有 an -3 = an_2 或 an -3=an a3,即a3 =3,于是a3 -a2 =an an，矛盾。因此anq = an -3 ,所以an,am =1 = a2 a1，这又矛盾，所以只有an4 =a2，所以n = 4。故当n之5时，不存在满足条件的实数。例9 设人=1, 2,3, 4, 5,6,B=7,8,9,；n,在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合 A , i =1,2，20, a QAj 2,1 i jM20.求n 的最小值。【解】nmin =16.设b中每个数在所有 Ai中最多重复出现k次，则必有
