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1、 条件改变之后的概率对由于条件改变而引起的概率悖论的讨论【摘要】: 悖论在数学中无处不在,但他们最经常是在一个比拟高级的水平上出现.然而在概率方面.悖论却在一个比拟简单的水平上出现.本文主要运用全概率公式和贝叶斯公式,解决一些由于条件改变而引起的概率悖论.并且通过分析两种常见的概率悖论,探讨概率悖论形成的原因,以与解决的方法,以期引起读者的重视和思索.【关键词】: 数学;悖论;条件概率;特指1. 前言悖论,从字面上讲就是荒谬的理论.关于悖论的起源,可以追溯到古希腊和我国先哲学时代.但是在那时与其往后的一段相当长的时期中,悖论往往泛指那些推理过程看上去是合理,但是推理的结果却又违背客观实际.如著
2、名的芝诺悖论中的阿基里斯追龟说:阿基里斯(一个善跑的猛将)要追上在前面跑的乌龟,必须先到达乌龟的出发点,而那时乌龟又已经跑过前面一段路了,如此这样往复,因此阿基里斯永远也追不上乌龟.1 徐利治.数学方法论选讲(第三版)M.某某:华中科技大学,2002.在历史上,还有另一种与之相反的情形而称之为悖论,那就是由于新概念的引人而违背了具有历史局限性的传统观念,这就不是推理看上去好似是合理的问题,而是传统观念貌似事实的事了.例如伽利略悖论:自古人们就认为“整体大于局部,现在有两个数列和,“整体大于局部的观点,第二个数列中元素的个数会少于第一个数列.但是从对应的角度看,第一个数列中的任意项总可以和第二个
3、数列中的对应,因此两个数列中的元素是一样多的.2 凌晓牧.小议数学悖论.某某教育学院学报自然科学,2010年第26卷第12期.22. 知识准备2.1 样本空间对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能结果组成的集合是的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间.2.2 概率在一次试验中,一个事件(除必然事件与不可能事件外)可能发生也可能不发生,其发生的可能性的大小是客观存在的.事件发生的频率以与它的稳定性,明确能用一个数来表征事件在一次试验中的可能性大小.我们从频率的稳定性与频率的性质得到启发和抽象,给出了概率的定义.我们定义了一个集合(事件)的函数,
4、它满足三条根本性质:1) 非负性: 对于每一个事件A,有;2) 规性: 对于必然事件S,有;3) 可列可加性: 设是两两互不相容的事件,即对于,有这一函数的函数值就定义为事件A的概率.3 王潘玲.应用高等数学M.某某,某某科学技术,2004年.36-38.32.3 古典概型中的概率概率的定义只给出概率必须满足的三条根本性质,并未对事件A的概率给定一个具体的数.只在古典概型的情况下,对于每个事件A给出了概率.一般,我们可以进展大量的重复试验,得到事件A的频率,而以频率作为的近似值.或者根据概率的性质分析,得到的取值.2.4 条件概率在古典概型中,我们证明了条件概率的公式在一般的情况,上述公式作为
5、条件概率的定义.固定A,条件概率具有概率定义中的三条根本性质,因而条件概率是一种概率.4 盛骤等.概率论与数理统计.高等教育.2008，64：1-24.43. 一些经典的概率悖论3.1 三门问题这是条件概率中的一个经典问题了.说在一次综艺节目上,设置了三个门,其中一个门后面是汽车,而另外两个门后面如此是山羊.有一个嘉宾上去抽奖,当然想抽到汽车了.第一步,他先选中一个门,比如说1号门.选中了但不打开门.这时剩下的两个门里,至少有一个门背后是羊,对吧.第二步,主持人过来了,当然,他事先是知道汽车在哪个门后的.他在嘉宾剩下的那两个门中,把一个有羊的门打开了,比如说,打开了3号门,门后有羊.现在的问题
6、就是嘉宾是坚持选他刚刚选的1号门对他有利,还是改选剩下的2号门对他有利.5 马丁数学悖论奇景M.某某:某某人民,1985:1-108.5第一种想法:每一个门后是汽车的概率都是,不管主持人怎么开门,每个门后的奖品都没被换过,那概率怎么会改变呢?1号门和2号门中奖的概率仍旧都是.第二种想法:当主持人打开了一个门后,剩下了两个门,其中一个有羊,另一个有汽车,1号门和2号门背后有汽车的概率都是.这两种想法当然都是错误的.下面我们用概率论的知识来计算一下.我们以表示事件在号门后面有汽车,以表示事件主持人打开的是第号门.那么在第一步中,有样本空间,且有在这一步中,我想大家都是没有异议的. 表格 1 三门问
7、题中的所有事件与其概率事件门后的奖品主持人打开的门以与打开这个门的概率1号门2号门3号门汽车羊羊2号门汽车羊羊3号门羊汽车羊3号门1羊羊汽车2号门1而在第二步中,当主持人在剩下的两个门中把一个有羊的门打开之后,样本空间就发生了变化6 X玉仙.缩短样本空间在条件概率计算中的应用.某某水利水电专科学校学报,2006年01期.6,我们把变化后的样本空间记为,即有.从而原来的问题可以等价为在发生的条件下,和发生的概率大小,即,.下面先求.由全概率公式可求得打开三号门的概率,于是由条件概率的定义,有代入数据,有同理,有也就是说,在主持人开门之前,2号门后有车的概率是,当主持人打开了一个有羊的门以后,2号
8、门后的奖品没被换过,有车的概率却变成了.而刚开始嘉宾选中的1号门后有车的概率却没有变过,仍是.计算结果没有错,但我们怎么从感官上去承受这件事呢?这件事的关键就是,主持人事先知道答案了,在这种情况下,他有意识地打开了有羊的门,就会改变这一概率事件的条件,也就会改变2号门中奖的概率,如果主持人是随便选的一门,想选哪个选哪个,那他的选择就不会影响概率.如果你是嘉宾,你可以这么想,你第一次选的门是你自己选的,中奖的概率是没错.但是在剩下的两个门里,有一个知道答案的人替你淘汰了一个不中奖的选择,换句话说,相当于是帮你作弊了.所以你第一次选的门中奖的概率没变,但是剩下的门经过了主持人的一轮筛选,概率就变高
9、了.7 赵院娥,乔淑莉.悖论与其对数学开展的影响J.某某大学学报自然科学版,2004,21:21-25.7,这一点是没有疑问的.这时,在剩下的9个彩票中,或者有9是没奖的,或者是8没奖的加1有奖的.也就是说,至少有8个没有奖.假设出售彩票的人是知道哪个有奖的.现在他在剩下的9个彩票中,去掉了8个没奖的,不妨就分别设其为2,3,4,5,6,7,8,9号彩票.那么,我们要问的是嘉宾刚开始选的1号彩票中奖的概率高,还是剩下的10号彩票中奖的概率高.8 Zemelo E. Investigations in the foundations of set theory M / Heijenoort J
10、V. From Frege to GLdel: a source book in mathematical logic. Boston: Harvard University Press, 1967: 200.8.即有下面的概率:现在我们改变条件:当嘉宾选择了1号彩票以后,有另外的8个人当然不知道哪个有奖选择了个彩票,不妨分别设其为2,3,4,5,6,7,8,9号彩票,并且在打开以后发现都没有中奖.问现在号、10号彩票哪个中奖的概率高一点?后来的8位嘉宾都不中奖记为事件C的概率为那么在事件C发生的前提下,1号彩票中奖的概率为同理, 也就是说,此事1号彩票和10号彩票中奖的概率是一样的.3.2
11、星期二男孩问题在讨论星期二男孩问题之前,我们先讨论另外一个问题以作铺垫.问题:老有两个孩子,其中一个是女儿,问另一个也是女儿的概率是多少?问题:老有两个孩子,给他家打,接的是他女儿,问他有两个女儿的概率是多少?9 王秀芳,郝素娥.论数学悖论的思维特色J.某某大学师X学院综合版,1993,2.9好多没接触过条件概率的人,一看到这种问题就直接糊涂了:这两个问题有什么不一样吗?两个问题不都是知道其中有一个是女儿,然后问另一个也是女儿的概率吗?概率不应该都是吗?其实这只是涉与到条件概率的一个简单问题.我们先列出一个表格,把老家两个孩子性别的所有可能都列出来.表格 2 老家两个孩子性别的所有可能编号第一
12、个孩子第二个孩子1女女2女男3男女4男男令A,B,C分别表示事件老有两个儿子,老有一儿一女,老有两个女儿.如此由上表显然有令E,F分别表示事件其中一个是女儿,接的是女儿.显然E发生的概率就是和发生的概率大小之和而F发生的概率可以用全概率公式求得为了更好地比拟与,我们也用全概率公式计算一遍而问题a与问题b可以分别等价于求在E发生的条件下C发生的概率和在F发生的条件下C发生的概率,即要求和.这两个概率可以用贝叶斯公式计算得到那么是什么造成了这两个概率的不同呢?我们可以这样想,在问题a中其中一个是女儿可以指两个孩子中随便一个.也就是说,当这个女儿没有特指哪个孩子的时候,所以可能的情况比拟多一些.而在
13、这些情况中,两个都是女儿的情况只占其中的一种,从而使两个都是女儿的概率小一点,是.而在题b中,接的是女儿中的女儿有特指,指的就是接的这个孩子.此时,两个都是女儿等价于没接的孩子也是女儿,所以的可能情况当然要少一点.而在这些情况中,两个都是女儿的情况同样只占一种,从而使两个都是女儿的概率小一点,是.10 陶理.关于数学悖论的认识问题J.东北师大学报哲学社会科学版,1993.10在明白上面这个问题后,我们再来讨论星期二男孩问题.这个问题是这样说的:一个人有两个小孩,其中有一个是生于星期二的男孩,问另一个也是男孩的概率是多少?许多人一接触到这题目以后,第一个反响便是:答案肯定是嘛.两个孩子的性别是独
14、立的,不论一个孩子的性别是什么都不会影响到另一个(不考虑极端或特殊情况),至于题目中的星期二,大概是一个迷惑人用的无用信息吧.当然,在经过上一个问题的分析讨论之后,我们可能好这样想:在这个男孩没有特指的情况下,答案肯定不是,而是,至于出生日期什么的,应该不会影响到孩子的性别吧.但是经过计算之后,我们就会发现,情况好似跟我们所想的有些不一样.我们先来做几个相似的试验,可能就会看得比拟明白一点.试验1:有两个硬币,正面标有数字1,反面标有数字2.抛掷这两枚硬币,假定是在理想状态下,也就是说每一枚硬币正面朝上和反面朝上的概率是1/2.抛掷后,发现其中一枚硬币朝上一面的数字是2,问另一枚硬币朝上一面的
15、数字是偶数的概率是多少?试验2:有两个质地均匀的骰子,每个骰子有六个面,上面分别标有16的数字,掷一个骰子时,哪个数字朝上是完全随机的,即每个数字朝上的概率都是.现在,投掷两个骰子,发现其中一个骰子朝上的一面是2,问另一个骰子朝上一面的数字是偶数的概率是多少?试验3:有两个转盘,每个转盘被等分为14个局部,上面分别标有114的数字,转盘转动并停止时,停在每个数字上的概率都是一样的,即.现在转动两个转盘,停止后,发现其中一个转盘的数字是4,问另一个转盘上的数字为偶数的概率是多少?11 王新爱.浅论数学悖论的积极意义.考试周刊,2009年24期1比照这三个试验,我们会发现它们有很多相似的地放:都有一个随机数产生器(
