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1、上杭一中与永定一中20212022学年第一学期高三第一次联考数学科试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要
2、求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ）ABCD2. 已知命题，则是（ ）ABCD3. 在中，则（ ）A60B30或150C30D60或1204. 已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（ ）ABCD5. 函数图象的大致形状是（ ）ABCD6. 已知是奇函数，当时，（其中为自然对数的底数），则（ ）ABCD7. 若在上是增函数，则的取值范围是（ ）A B C D8. 已知函数 (，且)在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数
3、的取值范围是（ ）A B C D二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.A当时，取得极小值； B在上是增函数；C当时，取得极大值. D在上是增函数、在上是减函数；10. 已知直线是函数的一条对称轴，则（ ）A是偶函数 B是的一条对称轴C在上单调递减 D与的图象关于直线对称11. 设，则下列结论正确的是（ ）A函数的最小值为2 B不等式恒成立 C函数的最小值 D若,则的最小值是12. 已知函数且函数，则下列选项正确的是（ ）A，使
4、 B点（0，0）是函数的零点C函数的值域为D若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为_.14.函数，若，则_15.锐角的内角、的对边分别为、，若，则的取值范围为_.16.已知为自然对数的底数，对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)从“；方程有两个实数根，；”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.已知函数为二次函数，_.（1）求函数的解析式；（2）若不等式对一切实数x
5、恒成立，求实数k的取值范围.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.18.(本题满分12分) 已知如图，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.19.(本题满分12分)受新冠肺炎疫情的影响，2021年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审笔试面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲乙丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.
6、假设甲通过笔试面试的概率分别为 ，；丙通过笔试面试的概率分别为，；乙通过笔试面试的概率与丙相同.（1）求甲乙丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；（2）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴(元)100200记甲乙丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.20.(本题满分12分)已知函数，实数，满足，且的最小值为，由的图象向左平移个单位得到函数.(1)求函数的单调递减区间.(2)已知，求的值域.试卷第5页，共6页21.(本题满分12分)在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角;（2）若外接
7、圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积和周长.22.(本题满分12分)已知函数（且为常数）.（）讨论函数的极值点个数；（）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.试卷第6页，总6页上杭一中与永定一中20212022学年第一学期高三第一次联考数学科试卷答案一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C【详解】因为函数在区间上为单调函数，且在上为单调递增函数，所以在上也为单调递增函数，因为在上为单调递减函数，所以，且，即，所以，若函数有两个不同的零点，则函数的图像与直线有两个不同的交点，作
8、出函数的图像与直线，如图：由图可知，当，即时，符合题意；当，即时，直线与抛物线相切也满足，联立直线与抛物线，消去得，所以，解得，符合.综上所述：实数的取值范围是.二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AD 10. ACD 11.BD 12.AC【详解】对于选项A，当时，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以，当时，当时，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以，当时，综上可得，选项A正确对于选项B，0是函数的零点，零点不是一个点，所以B说法错误；对于选项C，选项C正确结合函数的单调性及图像可
9、得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根函数的图象与直线有一个交点，且，则当时，当变化时，的变化情况如下：0+00+极大值极小值极大值，极小值；当时，当变化时，的变化情况如下：120+e极小值极小值综上可得，或，解得的取值范围是，故选项D错。三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 或 15. 16. 四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)详解：（1）若选择：设因为，所以因为，所以（i）.2分因为，所以
10、图象的对称轴为所以（ii）.4分由（i）（ii）解得，所以.5分若选择：设因为，所以因为，所以（i）因为方程有两个实数根满足，所以由韦达定理得：（ii）由（i）（ii）解得，所以 .5分若选择：设，因为，所以因为，所以（i）因为，所以，图象的对称轴为，所以（ii）由（i）（ii）解得，所以.5分（2）因为三种不同的选择都能得到函数解析式，所以，即对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，.7分则的图象恒在轴上方，或在轴上，所以无实根或有两个相等的根，所以，.9分故所求实数k的范围为.10分18.(本题满分12分)解：（1）在图中，连接，如图所示：因为四边形为菱形，所以是等边三角形.因为为的中点
11、，所以，.2分又，所以.在图中，所以，即.4分因为，所以，.又，平面.所以平面.又平面，所以平面平面.6分（2）由（1）知，.因为，平面.所以平面.以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴，.7分建立如图所示的空间直角坐标系：则，.因为为的中点，所以.所以，.设平面的一个法向量为，由得.令，得，所以.设平面的.8分一个法向量为.因为，由得令，得，.10分则，所以二面角的余弦值为.12分19.(本题满分12分) 解：（1）设事件表示“甲被企业正式录取”，事件表示“乙被企业正式录取”，事件表示“丙被企业正式录取”，则，.2分（1）设事件表示“甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取”，则，.4分所以甲乙丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率.6分（2）的所有可能取值为300，500，700，900，.10分所以的分布列为300500700900.12分20.(本题满分12分) 解：由函数，得，.2分实数，满足，且的最小值为， , ,.4分（1） 求函数的单调递减区间，即，.所以函数的单调递减区间.6分(2) 由的图象向左平移个单位得到函数,，.8分，.10分，的值域为.12分21.(本题满分12分)解
