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1、抛物线一、抛物线y2 2px(p 0)的简单几何性质1、范围：因为P 0,由方程y2 2Px可知，这条抛物线上任意一点M的坐标x,y 满足不等式x 0,所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y也增大， 这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右 .2、对称性：以y代y,方程y2 2Px(p 0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称 轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作 抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作 抛物线的顶点.在方程y2 2px(p 0)中，当 y 0时，x 0,因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离
2、 心率，用e表示.按照抛物线的定义，e 1知识剖析：抛物线的通径： 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点Mi,M2,线段M1M2叫作抛物线的通径，将x0 E代入y2 2Px得y p,故抛物线y2 2 Px的通径长 2为2P例1、已知点M x, y在抛物线y2 8x上，则f x,y x2 y2 12x 9的取值范围？分析：本题的实质是将f x,y转化为关于x的二次函数，求二次函数在区间0,上的最值.f x, y x2 8x 12x 9 x 2 2 5,又x 0,，所以当x 0时，f x, y取得最小值9, 当x 0, 时，f x, y x 2 2 5 ,无最大值.故f x, y x2
3、y2 12x 9的取值范围为9,答案：9,、抛物线的四种标准方程相应的几何性质:标准方程y2 2px(p 0)y22 px(p 0)x2 2 py(p 0)x22py(p 0)Vy1l二LOx图像OL Fx1rTlx/ 范围x轴x轴y轴y轴对称轴x 0, y Rx 0,y Ry 0,x Ry 0,x R焦点坐标(p，0) 2(E,0)2(0一) 2(0, -p)2准线方程x R2x E2y IT顶点坐标O 0,0离心率e 1通径长2p知识剖析：(1)通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同， 均为O 0,0，离心率均为1,它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.(2)抛物线和椭圆、双曲线的几何性质
4、的差异：它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形；顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点；焦点个数不同：椭圆和双曲线各有 2个焦点，抛物线只有1个焦点；离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是0 e 1 ,双曲线离心率的取值范围是 e 1,抛物线的离心率是e 1 ；椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆i6X2 9y2 i44的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为
5、该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为3,0 ,所以可直接设抛物线的标准方程,求得p后可得方程.答案：解：由i6X29y2144 得:22y xi6 9所以椭圆的左顶点为3,0 .由题意设所求抛物线的标准方程为2px p3 ,得p 6 ,故所求抛物线的标准方程为2.一yi2X.三、焦点弦问题及其应用1、焦点弦如图，AB是抛物线y2 2pX点AXi,yi ,B X, y2，线段AB的中点为M X0,yo，过 A,B,M分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为物线的定义有|af bf| |aa bb .又MM i是梯形AAiBiB的中位线,综上可得以下结论:AFXiX2ABXi点弦长公式.AB2X0f （焦
6、点弦长与中点的关系）若直线AB的倾斜角为，则AB Wsin推导:ABAFBFXiX2 p由的推导知，当AB不垂直于X轴时，yi y2BB| 2 MM1 .X2Xi X22p过焦点F的一条弦.设ABMi ,则根据抛p,其常被称作抛物线的焦yixix2ky2k 2yiy2k2pP正P2pAB / 2pi tan292P2P.2 sin当k不存在时，即90o 时,AB新亦成立A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即X1X22p，ym4分析：利用点斜式写出直线AB的方程，与抛物线方程联立后进行证明,要注意直线斜率不存在的情况.推导：Q焦点F的坐标为,当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为:,p
7、24日I 2，行：ky 2 pykP20V1V22P ?也22当AB垂直于x轴时，直线则yiP,y2 pyy2AF推导:iAF又 x1x2故AFBF一 2为定值-P由焦半径公式知,i BFxix22px2y型4p24 P 4P2AB的方程为:AF_P2xixx2222P ,xix22P4xi x2P x2 Xx2_P2x224X2AB代入上式得:iAFiBF|ab|i 、一 2为JE值BFPAB2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质(1)抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切(2)抛物线y2 2px p 0中，设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则 AMF BMF(3)设AB为抛物线的
8、焦点弦. 点A、B在准线上的射影分别为点Ai、若P为A1B1的中 点，则PA PB ；O为抛物线的顶点，若AO的延长线交准线于点C,连接BC ,则BC平 行于x轴，反之,若过点B作平行于x轴的直线交准线于点C,则A,O,C三点共线.(4)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦例3、已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为一的直线，被抛物线所 4截得的弦长为6,求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 ,则焦点F的坐标为 R,0，直线l的方程为y x R.设直线l与抛物线的交点为A xi,yi ,B x2,y2，过 22点A,
9、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A、Bi,则有:AB AF BFAA1+BB1=x,-x2-x1x2p 6,222由 V x 2 ,消去 y ,得 x 2px,即 x2 3px 22y 2px3xi x2 3p ,代入式得：3p p 6, p -2所求抛物线的标准方程为y2 3x当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y2 3x2例4、已知抛物线y 2px p 0的焦点为F ,点P K, yi、F2 x2,y2、P3 &必 在抛物线上,222B. FPiFP2FP3D.|FP22 I FPi gFP3且 2x2 xi x3 ,则有（）A. FPiFP2 FP3C.2 FF2FP FR解析：QP、P2、P3在抛物线上，且2x2%X3,两边同时加上P,得2(X2-) 木卫X3卫222即 2 FP2 FR FP3答案：C例5、过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于 A *,yi ,B X2,y2两点，如果x X2 6,那么AB ?解析：由抛物线定义，得AB AF BF 斗X2 p 6 2 8
