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1、楚雄师范学院数学系数学模型课程食饵一捕食者模型3.讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、乂有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和酎虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵一捕食者系统。一食饵一捕食者选用食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）为研究对象，设x（
2、t）/x1（t）为食饵（食用鱼）在时刻t的数量，y（t）/x2（t）为捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量，r为食饵（食用鱼）的相对增长率，&为捕食者（鲨鱼）的相对增长率;Ni为大海中能容纳的食饵（食用鱼）的最大容量,N2为大海中能容纳的捕食者（鲨鱼）的最大容量,1为单位数量捕食者（相对丁N2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者（相对丁Ni）消耗的供养甲实物量的1倍；2为单位数量食饵（相对丁NJ提供的供养捕食者的实物I量为单位数量捕食者（相对丁N2）消耗的供养食饵实物量的2倍；d为捕食者离开食饵独立生存时II:的死亡率二模型假设假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；假设大海中资源丰富，食饵独立生存时
3、以指数规律增长；三模型建立精心整理食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为r，即xrx,而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比,丁是x(t)满足方程x(t)x(ray)rxaxy(1)比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。由丁捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d,即ydy,而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当丁使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，丁是y(t)满足y(t)y(dbx)dy成y(2)比例系数b反映食饵对捕食者的供养能力。方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里
4、没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。结果如下。1) 不考虑自身阻滞作用：数值解令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2使用Matlab求解求解如下先建立M文件functionxdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x,ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shi
5、er,ts,x0);t,x,ans=省略plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pauseplot(x(:,1),x(:,2),grid,(可以猜测，x(t),y(t)是周期函数，与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7,x的最大最小值分另U为99.3,2.0,y的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25,10.)考虑阻滞作用前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用，接下来我们考虑种群自身的阻滞作用，在上面(1),(2)两式中加入Logistic项，即建立以下数学模型：x1x2x(t)rx112(
6、3)x1(t)r1x1lN11N2(3)v(t)rv1x1x2x2(t)r2x2i2N1N2(4)四平衡点进行理论分析下面对(3)(4)进行平衡点稳定性分析：由微分方程、令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0得到如下平衡点：N(11)疆(21)甲孔,0),P2(11,22J,P3(0,0)112112因为仅当平衡点位丁平面坐标系的第一象限时(为况0)才有意义，所以，对P2而言要求20按照判断平衡点稳定性的方法计算：根据p等丁主对角线元素之和的相反数，而q为其行列式的值，我们得到下表：平衡点稳定条件21不稳定五模型分析与检验1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：1) 对R(Ni，0)而言，有
7、p=ri顷21),q=隹(21),故当21时，平衡点P2(冬旦虹D)是稳定的。112112意义：如果P2(一,N2(21)稳定,则两物种包稳发展，会互相依存生长下去。112112I_JL2) 对FU0,0)而言，由丁pr2,q仕，乂有题知卅0,/0,故qx0=300060x0=300060t,x=ode45(fun,0,20,3000,60)t=省略plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t)图1.数值解x1(t),x2(t)的图形plot(x(:,1),x(:,2),grid,图2.相轨线图形从数值解及xi(t),x2(t)的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋丁一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(750,150)。参考文献：数学模型(教材，第三版)P192-P196
