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1、动能和动能定理一、动能定理应用的思路动能定理中涉及的物理量有 F、l 、m、v、 W、 Ek 等，在处理含有上述物理量的力学问题时， 可以考虑使用动能定理。 由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究， 无需注意其中运动状态变化的细节， 又由于功和动能都是标量， 无方向性，无论是对直线运动或曲线运动， 计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移效应， 而不涉及加速度和时间时， 用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。 用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。二、应用动能定理解题的一般步骤： 确定研究对象和
2、研究过程。 分析物理过程， 分析研究对象在运动过程中的受力情况， 画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。 找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量） 根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。例题评讲：1、应用动能定理求变力的功。例 1 如图 2-7-5 所示， AB 为 1/4 圆弧轨道，半径为 R=0.8m，BC 是水平轨道，长 S=3m，BC 处的摩擦系数为 =1/15，今有质量 m=1kg 的物体，自 A 点从静止起下滑到 C 点刚好停止。求物体在轨道 AB 段所受的阻力对物体做的功。2-7-5解答：物体在从 A
3、滑到 C 的过程中，有重力、 AB 段的阻力、 BC 段的摩擦力共三个力做功， WG=mgR，f BC=umg，由于物体在 AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知： W 外 =0，所以 mgR-umgS-WAB =0即 WAB =mgR-umgS=1 100.8-1 103/15=6(J)点评：如果我们所研究的问题中有多个力做功， 其中只有一个力是变力， 其余的都是恒力， 而且这些恒力所做的功比较容易计算， 研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。例 2 电动机通过一条绳子吊起质量为 8kg 的物体。绳的拉力不能超过 120N，电动机的
4、功率不能超过 1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高 90m（已知物体在被吊高 90m 以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（ g 取 10 m/s2）解答 起吊最快的方式是： 开始时以最大拉力起吊， 达到最大功率后维持最大功率起吊。在匀加速运动过程中，加速度为aFmmg120 8 1022m8m/s =5 m/s ，末速度vtPm1 200m/s=10m/s，上升时间vt10120t1s=2s，Fma5上升高度h1vt2102m=10m。2a25在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为Pm1 200m/s=15m/s，vm8 10mg由动能定理有1212，解得上
5、升时间2Pmt 2 mg(h h1 )mvm2mvtt =5.75s。2所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为 t=t 1+t 2=2s+5.75s=7.75s。2、应用动能定理解多过程问题例 3 一个物体从斜面上高 h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止， 测得停止处对开始运动处的水平距离为 S，如图 2-7-6，不2-7-6考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同求动摩擦因数解答 设该斜面倾角为，斜坡长为 l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：WGmgl sinmghWf 1mgl cos物体在平面
6、上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则对物体在全过程中应用动能定理： W= Ek 所以 mglsin mglcos mgS2=0得 hS1S2=0式中 S1 为斜面底端与物体初位置间的水平距离故点评 本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动 依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性例 4 从离地面 H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的 k（k1）倍 ,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大
7、高度是多少？（2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？解答： (1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得： mg(H-h)-kmg(H+h)=0解得h1k H1k(2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0解得HSk点评：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。例 5、如图 11 所示，斜面足够长，其倾角为 ，质量为 m 的滑块，距挡板 P 为 S0，以初速度 V 0
8、 沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？解答：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L ，对全过程，由动能定理得：1 mv02V 0mgS0 sinng cos L 002SmgS0 sin2P1 mv0得 L2mg cos图 113、利用动能定理巧求机车脱钩问题例 5、总质量为 M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进， 其末节车厢质量为 m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶 L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，如图13 所示。设运动的阻力与质量V 0成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？V0LS1解答：此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便。S2对车头，脱钩后的全过程用动能定理图 13得：FL k (M m)gS11 (M m)V022对车尾，脱钩后用动能定理得：kmgS21mV022而SS1S2 ，由于原来列车是匀速前进的，所以F=kMg由以上方程解得ML。SMm
