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1、正态分布【知识网络】1 、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2 、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图)，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。【典型例题】例1: (1)已知随机变量X服从二项分布，且 E (X) =, V (X)二,则二项分布的参数n, p的值为( )A n=4, p=B. n=6,p=0.4 C. n=8, p=D. n=24, p=答案：B。解析：E X np 2.4 , V X np(1 p) 1.44。(2)正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。A 95% B .50% C . %
2、 D .不能确定(与标准差的大小有关)答案：Bo解析：由正态曲线的特点知。(3)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是()A 32 B 16 C 8 D 20答案：B。解析：数学成绩是X N(80,10 2),80 8090 80P(80 X 90) P Z P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。1010(4)从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 _。答案：。解析：设两数之积为 X,一X23456810121520P E(X)=.(5)如图，两个正态分布曲线图:1
3、 为 3,2 为 2 2 (XK1, 12 2则1 2,1 2 (填大于，小于)答案：V, 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对 2题才算合格.(I )求甲答对试题数E的概率分布及数学期望；(n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率答案：解：(I )依题意，甲答对试题数E的概率分布如下:甲答对试题数E的数学期望EE=0130100123P(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A B则P(A)=仆2仆1 c3C6 C4 C6 60 20C
4、30120P(B尸c；c2C3C356 561201415因为事件 A B相互独立,14方法一: ，甲、乙两人考试均不合格的概率为，甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44454515454445方法二:.甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为2P PA B PA B P A B 3115答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1 14 23 15 3441415444545例3:甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y,其分布列如下:(1)求a,b的(2)比较两名射手的水平.X123PaY123Pb值;答案：(1)a=,b=；3 0.
5、3EX 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3, EY 1 0.3 2 0.4DX 0.855, DY 0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定例4:一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外,6个小球完全一样,中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元; 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.每次从袋3红3白，很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”k 6 k,其中 k=0,1,2,6答案：设取出白红球数为 X
6、,则X H (6, 6, 12), P(X k) C6 C6C121 E(Y) 10015 6 cc 75100 50 20 一 100 一4627715423129.44,故我们不该“心动”。设赢得的钱数为Y,则丫的分布列为X10050201001675100P46277154231【课内练习】1 .标准正态分布的均数与标准差分别为（A 0与 1 B .1与0 C .0与0 D 答案：Ao解析：由标准正态分布的定义知。相应的正态曲线的形状越扁平。越小2 .正态分布有两个参数与 ，（）A 越大 B , 越小 C . 越大 D答案：Co解析：由正态密度曲线图象的特征知。3.已在n个数据X1,X2
7、, ,xn,那么Xii 1一 2x是指A答案:4.设 B(n,p), E12,答案:4。解析:np 12np(1 p)5.对某个数学题,甲解出的概率为乙解出的概率为-,两人独立解题。记 X为解出该题的人数，则 E4(X) =答案：-12解析:P(X0)12运P(X 1) 34 i1，p(x 2) E(X) 05 21217126 .设随机变量服从正态分布 N （0,1）,则下列结论正确的是(2)(4)P(|P(IP(IP(I答案:a)a)a)a)P(l I2P(2P(P(I,(2),(4)7 .抛掷一颗骰子,a)a)P(I1(aa)(aa)(a。解析：P（| 设所得点数为I a)(a 0)0)
8、0)0)I a) 0。X,则 V (X)=B . C.2 D.2 （Co解析：由方差的统计定义知。3512357答案： 一。解析：P（X k） 1,k 1,2,L ,6 ,按定义计算得 E（X） -,V（X）12628.有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示:甲单位1200140016001800概率乙单位1000140018002200概率根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。答案：由于E （甲）二E （乙），V （甲）V （乙），故选择甲单位。解析：E （甲）=E （乙）=1400, V （甲）=40000, V （乙）=160000。9.交
9、5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取 2个球，他所得奖励是所抽 2球的钱数之和(设为 )，求抽奖人获利的数学期望。答案:解：因为为抽到的2球的钱数之和,则 可能取的值为2, 6,10.P(C；2)-2-202845P(小-8-26) ET216C；，P( 10) dr45-0145c 28 c26451645104516245185为抽奖者获利的可能值，则5 ,抽奖者获利的数学期望为E E( 5) E 5故，抽奖人获利的期望为竺557o510.甲乙两人独立解某一道数学题,(1)求该题被乙独立解出的概率；已知该题被甲独立解
10、出的概率为，被甲或乙解出的概率为(2)求解出该题的人数的数学期望和方差.答案：解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2.(A)=R=, P(B)=P 2P(A0.6B)P2则 0.4 P21 P( A 0.6 P20.32 即 P2B)0.920.8(2) P(0) P(A) P(B)(1 R)(1P2)P1P2R P20.92(6分)0.4 0.20.08P(P(1)2)P( A) P(B) P(A)P(B) 0.60.2P(A) P(B) 0.6 0.80.480.4 0.80.44的概率分布为012PE 0 0.08 1 0.44 2 0.4
11、8 0.44 0.96 1.4, 、2_ _，、2_、2_ _V( ) (0 1.4)0.08 (1 1.4)0.44 (2 1.4)0.48 0.1568 0.0704 0.1728 0.4 ,或利用 V( ) E( 2) (E )2 2.36 1.96 0.4。【作业本】1.袋中装有5只球，编号为1, 2, 3A 、4答案:CoX345P解析：X的分布列为故 E (X) = + + =。2.下列函数是正态分布密度函数的是A.x r 2一 1f(x) -e 2 B .2f(x)C.x 1 21f(x) -e 4 D . f(x)221-e22答案:Bo解析：选项B是标准正态分布密度函数。3.
12、正态总体为0,1概率密度函数f(x)是A组4, 5,从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则 E (X)等于A.奇函数B .偶函数答案：Bo解析：f(x)C .非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数2x1 TQ oL时达到最高点。4.已知正态总体落在区间0.2, 的概率是0. 5,那么相应的正态曲线在答案：。解析：正态曲线关于直线 x 对称，由题意知0.2。5 . 一次英语测验由40道选择题构成，每道有 4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分 120分，某学生选对一道题的概率为，求该生在这次测验中的成绩的期望为 : 方差为。答案：84;。解析：设X为该生选对试题个数，刀为成绩，则XB (50,), y =3X，E(X)=40 X =28 V(X)=40故 E( Y) )=E(3X)=3E(X)=84 V( 刀)=V(3X)=9V(X)=6 .某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试2验，若此人每次试验成功的概率为 -,求此人试验次数 X的分布列及期望和方差。3解：X的分布列为皿2故 E(X) 1 -21132T3- ,V(X)999238_ o817.甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s,若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X,则4
