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1、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：题型一、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_。解：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e）例2. 若函数，则函数的定义域为_。解：先求f的作用范围，由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用
2、所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为题型二、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_。解：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为_。解：先求f的作用范围，由，知解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为题型三、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5. 若函数的定义域为
3、，则的定义域为_。解：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f对作用，所以，解得即的定义域为【评注】函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间）上是增函数
4、.（2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）复合函数的单调性判断步骤： 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：与。 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。题型一、讨论复合函数的单调性，求单调区间例1、 求函数的单调区间，并用单调性定
5、义给予证明解： 由定义域为单调减区间是。用单调性定义证明下面： 设 则 = 0是减函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是增函数，a1由x0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是减函数，0a1由x0，1时，2-2-10, 0a1综上所述，0a1或1a2例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。解：由已知，得，其中 即，解得为负整数，即 ，假设存在实数，使得满足条件，设，当时，为减函数，,当时, 增函数,.由、可知，故存在四、 复合函数的奇偶性解决这
6、类问题，要透彻理解奇偶性的定义的本质，注意复合函数中的自变量是x.例 5、如果函数在上是增函数，且函数是偶函数，试比较、的大小。分析：函数是偶函数，与是偶函数完全不同，一般地，是偶函数即对于定义域内任意自变量满足，也有；是偶函数即，因而知的图象关于直线对称。解： 函数是偶函数， ，即的图象关于直线对称，有=，=，又函数在上是增函数， 即。（1）适当选定中间 习题1、设，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 2、函数y（x23x2）的单调递减区间是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）3、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。4、 已知函数的定义域为，求的定义域。5、 已知函数的定义域为，求的定义域。6、找出下列函数的单调区间.（1）；（2）7、讨论的单调性。8、求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间9、已知函数的定义域为，求的定义域。
