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1、五 空间角和距离知识要点：1两条异面直线所成的角：经过平行移动转化为相交直线，解与相交直线有关的三角形。2直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。3二面角的求法： （1）定义法： （2）三垂线法：（3）射影面积法_l_A_B_P_O_O_A4距离的转化思想点面距离 线面距离 面面距离5思想方法：（I）平面几何意识：中线、中位线意识；平行四边形或矩形的对角线意识；重心、垂心意识。（II）几何体的割补意识题例1. 已知二面角的大小为， （A） （B） （C） （D）2如图，正四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD3若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_4如图，A
2、、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）AarcsinBarccosCarcsinDarccos5设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_6在正三棱柱中ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（A） （B） （C） （D）7正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是.8已知平面平面，直线m，直线n ，点Am,点Bn，记点A、B之间
3、的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则A.bac B.acbC. cab D. cba9已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为 （A）（B）（C）（D）10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，E、F 分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 .11如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。ABCDOO1ABOCO1D（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。ABOCO1Dxyz 图2
4、 图1解解法一（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），图3B（0，3，0），C（0，1，） O1（0，0，）. 从而所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以cos，=ABOCO1D即二面角OACO1的大小是解法二（I）证明 由题设知OAOO1，OBO
5、O1， 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.图4因为 ，所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大小是12在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形
6、，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求点B到平面CMN的距离.解：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：（）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM.NFE为二面角NCMB的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC
7、. 又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角NCMB的大小是arctan2.（）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面 ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A（2
8、，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（4，0，0），=（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0），=（1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， n=3x+y=0，则 取z=1，则x=，y=-，n=x+z=0，n=(，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=.二面角NCMB的大小为arccos.（）由（）（）得=（1，0），n=（，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.13如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线
9、与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。解：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,（1） 解：易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1
10、C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F 在。所以所以二
11、面角A1-DE-F正弦值为14如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC（I）求证：平面； (II)当k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； (III) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力解：方法一：() O、D分别为AC、PC中点， ()，又，PA与平面PBC所成的角的大小等于，（）由()知，F是O在平面PBC内的射影D是PC的中点，若点F是的重心，则B，F，D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，即反之，当
12、时，三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心方法二：，以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）设则，设，则()D为PC的中点，又，()，即，可求得平面PBC的法向量，设PA与平面PBC所成的角为，则，（）的重心，又，即，反之，当时，三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心15如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.解：解法（一）（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，
