公平的评卷系统模型

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1、公平的竞赛评卷系统模型摘要本文针对数学建模竞赛评卷系统进行模型建立和求解.问题一：研究一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号）；通过码制转换和异或运算进行简单易算、可随意转换且保密性良好的加密和解密方法。问题二：研究一种评阅答卷分配的数学公式方法。通过以满意度最大为目标函数建 立0-1整数规划模型，把所有评委分组，分别为7,8,5,5，再引入隶属度函数，以广 泛度最大为目标函数，回避本校答卷和满足某些特殊要求为约束条件建立优化模型，给 各题组的评委具体分配答卷。问题三：研究评分一致性或公正性的检验方法。通过运用统计学的原理分析了评委 的类型一客观公平型、一致性偏高型、一致性偏低型

2、、大幅度波动型和作弊型。问题四：研究最终的分数调整计算公式，该公式要处理那些可能出现的“不公平”，及尺度偏差。通过对各类型的评委的评分作出合理的量化，并以这些量作为权值对不合m 理分数进行最终调整，最终调整公式为：SjWi Sj .综上所述，利用本文所建立的各种模型，可以有效的对试卷编号进行加密，合理的对 试卷分配，根据评委的公正性和每份试卷打分的置信区间可以给出最终分数的计算公式， 反应了试卷的真实水平。关键词：加密系统，满意度，广泛度- # -一、问题提出（1）数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的 人关心竞赛评卷的公平性现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答

3、卷编成密号， 评委由各参赛学校（20-50所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由M个评委组成，评阅N份答卷，每份答卷经 L个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分A ,A,A-,B ,B,B；C ,C,C-,D，如果L个评委给出的分数基本一致，就给出这份答卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中 M =5-10,N =60 -200丄=3-5）.假定有35所学校298个参赛队参赛，数据见附录1.其中：数字前两位代表学校， 甲组选做A, B题；乙组选做C, D题；25名评委所属的学校编号为：1-17，20, 21, 22, 24， 26, 28, 29, 30.每份试卷经四位评委评阅，编号为

4、15, 22的只容许评C, D题，编号为26的只容 许评A, B题，编号为1, 4, 6, 12, 16的评委要求评A题，编号为2, 5, 7, 10的评 委要求评B题；编号为24的评委要求评C题，编号为29的评委要求评D题.其余按所 在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。二、模型假设与符号说明（一）模型假设1假设除了问题中某些评委提出的要求，其他评委无明确要求；2假设每个评委的评卷速度和阅卷量相近；3假设每个评委在评卷过程中不会交流评卷业务以外的试卷信息，独立地评出 每份答卷的分数，对于评阅同一份答卷的评委不会相互交流各自所评的分数.（二）符号说明1. 答卷的加密与解密B明文空间，它是全体明文

5、的集合；C密文空间，它是全体密文的集合；K密钥空间，密钥是加密算法中的可变参数;E加密算法，它是一族由B到C的加密变换;D 解密算法，它是一族由C到B的加密变换.2. 答卷的分配a, b,c,d :分配到题组 A B C D的评委数目；kXj :在第k个题组中，第i个评委评阅第j所学校答卷的份数;Uj :在第k个题组中，第j所学校的答卷数；Ak :第k个题组的总答卷数；亍：在第k个题组中，第i个评委评阅答卷的总份数；mk :第k个题组的评委数；nk :第k个题组的参赛学校数.3. 分数调整计算可：第i个评委评阅第j份答卷的分数;Sj :第j份答卷的平均分；Sj :第j份答卷的最终分数；w:第i

6、个评委的类型系数.4. 统计量说明1）标准差系数V：选择标准差系数考察平均分的代表性.标准差二是反映一组数据分布的离散程度的 统计指标，以绝对值表示标准差系数是标准差与平均数的比值，用百分比表示，即：VcCJ(1)比较每份答卷的标准差系数若答卷 A比答卷B的标准差系数大，说明评委对答 卷A的意见差异更大，即使答卷 A和B的平均分相同，答卷A的评分问题上存在较大 争议，应当慎重考虑，需要进一步考察.2）离差绝对值之和Sa将某评委对每份答卷的评分，分别减去该答卷的平均分，即得到该评委对该答卷的 离差，将全部离差的绝对值累加求和，得出该评委的离差绝对值之和，即：S；=送 Xj -Xjj上式Xj表示第

7、i个评委对第j份答卷的评分，Xj表示第j份答卷的平均分.离差绝对值之和的大小反映各个评委对测评对象整体水平的看法，离差绝对值之和与测评对象整体水平成负相关，离差绝对值之和越大，测评对象整体水平越不整齐，内 部差异即离散程度则越大.3) 离差代数和Sd将各个评委对每一份答卷的评分，分别减去该答卷的平均分，即得到该评委对该答 卷的离差，将全部离差累加求和，即得到该评委的离差代数和，离差代数和没有直接意 义，必须与离差绝对值之和结合起来考察，才有实际意义.4) 绝代比rad绝代比是每个评委的离差绝对值之和与其离差代数和的比值，即：i sarad FSd( 3)忌有以下三种情况: rad ,这是因为每

8、一离差均取正值或负值，其代数和不存在正负抵消现象，正 好与离差绝对值之和一致，这种情况只有该评委的评分全部低于或高于平均分时才出 现； rad的比值很高，也就是说，离差绝对值之和远远大于离差代数和的绝对值，这 种情况，往往因为该评委的评分往往远离总体平均分，同时，具体评分围绕平均分上下波动，因此，离差正负相抵后所得的代数和，其数值较小，两相比较，ad的数值较大; rad比1稍大，是因为该评委所评分数在平均分数线上下小幅波动.三、模型分析、建立、求解1. 模型分析：(1) 对加密系统的分析，通过对编号的码制转换便于我们对位进行异或逻辑运算， 从而使加密过程更加隐蔽、易行；(2) 把所有答卷编号进

9、行矩阵排列，再按列操作，可以简化加密工作量；(3) 通过要求评委们各自秘密发送 3-5个字母给公证人，再由公证人顺序或逆序 排列(只有所有评委和公证人的“密钥”都被知道了，已知道加密算法的人才能破译该 系统)，从而大大增加了破译的难度，提高了加密系统的保密性能；(4) 异或逻辑运算是一种可逆运算，简单易行，不仅隐蔽了原本学校和参赛的信息，同时又保证了针对每个不同的序号能得到一个唯一与其对应的16位二进制序列,实现对于答卷分配的分析，我们先提出满意度函数，再引入模糊数学中的隶属度函数来求 解，较好地满足了回避本校答卷和评委广泛度尽量大的要求；运用统计学的原理，根据不同的评分特点把评委分成不同类型

10、，再用层次分析法来(2)-# -检验评委的公平性，使得问题的描述比较清晰；运用加权的方法调整分数，在实际操作上具有一定的意义.2. 模型建立：1）评委分组：依题意，把25个评委分配到A、B、C、D四个题组，必须满足以下要求：a.每个评委只能分配到一个题组中；b为了回避本校答卷，分组过程中每个评委所在的题组需要评阅的题目是该评委所在学校的参赛队选择最少的题目；c严格满足特殊要求中某些评委只容许评阅的题组的要求；d 在满足公平原则和以上 3项原则前提下，尽量满足特殊要求中某些评委要求评 阅的题组的要求；e在满足以上原则的前提下，使每个评委评阅的答卷尽可能广泛；f.对于没有提出要求或题目没有明确限制

11、评阅题组的评委，在满足以上几项原则 前提下，我们对这些评委进行随机分配.基于以上原则，我们采用数学规划中的整数规划，引入满意度的概念，并用决策变量ykl表示对其量化：用k=123,4表示四个题组a、b、c、D，用丨二1,2,，25表示25个评委1-17、20、21、22、24、26、28、29、30，ykl表示第1个评委被分到第k个题组 的满意度大小.满意度定义为：a） 当某个评委的“只容许”条件被满足时，ykl二2，否则为-2；b） 当某个评委的“要求”条件被满足时，ykl ，否则为-1；c） 当没有特殊要求的评委被分到任意题组时，其满意度为0. 我们可以用丫表示由ykl组成的矩阵，则丫可写

12、成以下形式：-1-10 1-11-100-10 100_21 000-2-120-101-11 0-11-1100 10-100_2-1 0002120-10Y =-1-10-1-1-1-100-10-1002-1 0002 1-20-10-11011110010-1002-1 0002-1-2010一由于每个评委只能分配到一个题组， 所以对于矩阵的每一列4个元素只能选取其中 一个，于是我们以最大满意度为目标函数：425（max - yk| k丘1峰（4）I其中，ykl是基于丫矩阵的得到的一系列矩阵中的最优矩阵 丫的元素.由题目可知，每个题组至少要有 5个评委评阅答卷，同时从表 3.1可以看到

13、选择题组A、B的参赛队要比选择题组 C、D的多，为了保证阅卷的公平性，分配到题组 A、 B的评委数目应该比C、D的多，不妨假设题组A和B的评委数至少分别比题组 C和D 的多1，于是有以下模型（I）:425max 二二 ykik 4 l 4a+b+c + d=25a +b 兰12s.t.c _5d - 5（I）我们运用数学软件Lingo9.0来求解以上的数学模型，得到下面的分配结果（见表3.1）:表3.1评委答卷分配题组5该题组评委数目该题组评委所在学校编号A71, 4, 6, 12, 16, 28, 30B82, 5, 7, 10, 17, 20, 21, 26C511, 13, 14, 15

14、, 24D53, 8, 9, 22, 292）答卷分配：在评阅过程中，每份答卷必须经四位不同的评委评阅，同时要求评委回避本校答卷， 满足某些特殊要求，在此基础上尽可能使评委评阅的答卷广泛，也就是说，该评委所评 阅的答卷含不同学校数目尽量多.在上一步中已经讨论了把25名评委分到四个题组的问题，现在我们以题组A为例, 建立模型求解出题组A评委的具体分配情况，其他题组可以类似地求解.题组A的评委数为7,分别是1、4、6、12、16、28、30,我们重新对这些评委编 号为1, 2, . .，7,选做题组A的学校编号为1，2, .，19.为了使评委评阅答卷尽可能广泛，我们引入模糊数学的柯西型隶属度函数，给出各 评委每评阅一份答卷的值一一广泛度：f Xj)=Xj -124(5)其中广泛度f Xj是Xj的减函数，表示当第i个评委评阅的答卷越广泛，即所含学 校越多，Xij越小，则广泛度f Xj越大，（见表3.2）:表3.2xij函数表Xj123456f(Xj )0.88320.86210.83510.80000.75380.6923Xij789101112f(Xij )0.60980.5