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1、概率论与数理记录复习大纲第一章 随机事件与概率基本概念随机实验E-指实验可在相似条件下反复进行,实验的成果具有多种也许性（每次实验有且仅有一种成果浮现,且事先懂得实验也许浮现的一切成果,但不能预知每次实验的确切成果。样本点w -随机实验E的每一种也许浮现的成果样本空间W-随机实验的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点构成的集合,即随机事件是样本空间的一种子集。必然事件-每次实验中必然发生的事件。 不也许事件-每次实验中一定不发生的事件。事件之间的关系涉及AB相等A=B对立事件,也称的逆事件互斥事件A=也称不相容事件A，B互相独立P(AB)P（A)(B）例事件A,B互为对立事件等价于
2、（D)A、A，互不相容 B、A,B互相独立 、ABD、A,B构成对样本空间的一种剖分例2设P()=，B为任一事件,则（ C)A、A= 、AB 、与B互相独立 、与互不相容事件之间的运算事件的交AB或AB例1设事件A、B满足A,由此推导不出 (D)A、 、 C、AB= D、=例2若事件与满足 B A=B,则一定有 (B)、A B、= C、A= D、事件的并AB事件的差AB 注意： AB = A-B = ()-BA,A,An构成W的一种完备事件组(或分斥)指A1，A2,A两两互不相容,且A=W运算法则互换律ABBA ABA结合律(AB)C=A(C) （A)C=A(C) 分派律(AB）=（A)（C)
3、 (AB)C（AC)(B)对偶律 = 文氏图 事件与集合论的相应关系表记号概率论集合论W样本空间,必然事件全集不也许事件空集w基本领件元素A事件全集中的一种子集的对立事件的补集B事件A发生导致事件发生A是的子集=B事件A与事件B相等与相等B事件A与事件至少有一种发生A与的并集B事件A与事件B同步发生A与的交集-B事件发生但事件B不发生与B的差集AB=事件与事件B互不相容(互斥)与B没有相似的元素古典概型古典概型的前提是W=w,w2, w，, wn, n为有限正整数,且每个样本点wi浮现的也许性相等。例设个球任意投到四个杯中去,问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。解：
4、每个球有4种放入法，3个球共有4种放入法,因此W|=43=4。(1）当杯中球的个数最多为1个时，相称于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一种球，因此|A|=C!=24；则(1）=24/64 =. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相称于四个杯中有1个杯子恰有2个球（CC）,另有一种杯子恰有个球(C),因此|A2|=CCC=3；则P(A2)/64 =/16 例2从1,2,9,这九个数中任取三个数，求:（1)三数之和为1的概率p1;（）三数之积为21的倍数的概率p2。解：1=, p2 P(）= =几何概型前提是如果在某一区域W任取一点，而所取的点落在中任意两个度量相等的子区域的也许性是同样的。若A
5、W，则P（A)= 例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一种三角形的概率。解：设折得的三段长度分别为x,y和a-y,那么,样本空间，S=(x,y)|0a,a,a-xa。而随机事件A:”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和不小于第三边的原则，得到联立方程组,解得 0x ， 0y ， x+ya 。即G=(x,y) 0x , 0y , x+y) P(A|B)表达事件发生的条件下,事件A发生的概率。乘法公式：(AB)=P(A)P（B|A)= P(B）P(A|) (其中P(A)，P（B) 一般有P（）=P（A)P(B|A）P(CAB) (其中(AB)0)全概率公式：P(）= P(B)P(A
6、i) 其中,A2,An构成W的一种分斥。贝叶斯公式：P(Ak|B)= = 应用题例1设两两互相独立的三个事件A, 和C满足条件:AB=，P()（B)=P(）0,则事件A与独立 P（BA)=P(）2 事件A与事件B独立事件与事件独立事件与事件独立事件与事件独立事件1,A2,An互相独立-指任意k个事件A1,Ai2，k满足P(i1Ai2i)=P( i1)P(Ai2)P(Aik),其中k=2，3，n。可靠性元件的可靠性(A）=r系统的可靠性: 串联方式P(1A2An)=r并联方式 P(AA2An)=1-（1r) , 贝努里概型指在相似条件下进行n次实验；每次实验的成果有且仅有两种A与;各次实验是互相
7、独立；每次实验的成果发生的概率相似(A）, P()=-p。二项概率-在n重独立实验中,事件正好发生次的概率为b(k;,p),则b(;n,)=Ck(1-p)n-k（k0,1,2，3,n）。第二章 随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义:F（x)=Pxx，-+分布函数(）实质上表达随机事件Pxx发生的概率。分布函数（x)的性质 ()0F（)1;(2) F(x）=0, F（x)1(3)单调非减,当x12时，F（x)F(x)(4)右持续 （x)=(x0)某些概率可用分布函数来表达Paxb=F()-F（a），Pa=(a)-(a-0)， Pa=1F(a），Px=1-(a0),例设随机变量x的分布
8、函数为 (）= , 则 Pxp/ =( ) (选,由于Pxp/ =F(p/4）si/4）A、0 B、1/ C、/2 D、1例2.设随机变量x1和2的分布函数分别为F(x)和F2(x)，为使F（x）aF() -F2()是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取( ) A、a=3/,=-2/ 、a3/5，b/ 、a=35,b5 D、a/5,=25(选A，由于F（+)=1 aF1(+) - bF()=ab）例3.持续型随机变量 的分布函数为F（x) A + B rcan, -x求:(1） 常数A，B； (2) 落入（-1,)的概率。解:由于F（+）=1, (-）=0，因此A + Bp/2，A- Bp/，解得 A=1/2， B= 即F(x) = + arctanx x 落入(-1，)的概率为-1x1F(1)-F(-） = arctan ( rctn(1)= 离散型随机变量定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分布列： 其中每一种 pi0 且 =1离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数。
