专题:数列求和讲义

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1、专题:数列求和(一)主要知识:1直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1)等差数列的求和公式: (2)等比数列的求和公式Sn(切记:公比含字母时一定要讨论)2公式法:如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可以直接使用公式求和. 3倒序相加法:类似于等差数列的前项和的公式的推导方法,如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法,如等差数列的前项和公式即是用此法推导的4错位相减法:如果一个数

2、列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和即可用此法来求,如等比数列的前项和公式就是用此法推导的若,其中是等差数列,是公比为等比数列,令 ,则两式错位相减并整理即得.5裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项方法(1),特别地当时,;(2),特别地当时,;(3)(4)(5)6分组转化求和法:有一类数列,它既不是等差数列,也

3、不是等比数列,但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和,再将其合并即可.7并项求和法:一个数列的前项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如类型,可采用两项合并求解例如,. 易错提示利用裂项相消法解决数列求和问题,容易出现的错误有两个方面:(1)裂项过程中易忽视常数,如容易误裂为,漏掉前面的系数;(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题,导致计算结果错误应用错位相减法求和时需注意:给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零,否则需讨论;在转化为等比数列的和后,求其和时需看准项数,不一定为n.主要方法:

4、1求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2求和过程中注意分类讨论思想的运用;3转化思想的运用;分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和利例1.【2016北京文15】已知是等差数列,是等比数列,且,.(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和.【答案】(1);(2).(2)由(1)知,.因此.从而数列的前项和. 已知数列an的前n项和Sn,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn2an(1)nan,求数列bn的前2n

5、项和解:(1)当n1时,a1S11;当n2时,anSnSn1n,故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann,故bn2n(1)nn,记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n(212222n)(12342n)记A212222n,B12342n,则A22n12,B(12)(34)(2n1)2nn,故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.,练习求和: 思路分析:通过分组,直接用公式求和。解:(1)当时,(2)当错位相减法求和的具体步骤步骤1写出Snc1c2cn;步骤2等式两边同乘以等比数列的公比q,即qSnqc1qc2qcn;步骤3两式错位相减转化成等比数列求和;步骤4两边同除以1q,

6、求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论 2(2015山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbnlog3an,求bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为2Sn3n3,所以2a133,故a13,当n2时,2Sn13n13,此时2an2Sn2Sn13n3n123n1,即an3n1,所以an(2)因为anbnlog3an,所以b1,当n2时,bn31nlog33n1(n1)31n,所以T1b1;当n2时,Tnb1b2b3bn131232(n1)31n,所以3Tn1130231(n1)32n,两式相减,得2Tn(30313232n

7、)(n1)31n(n1)31n,所以Tn.经检验,n1时也适合综上可得Tn. (2015湖北,18,12分)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q.已知b1a1,b22,qd,S10100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当d1时,记cn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)由题意有即解得或故或(2)由d1,知an2n1,bn2n1,故cn,于是Tn1,Tn,可得Tn23,故Tn6.用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项

8、例3.求和解: 【1-2】设为等差数列的前项和,已知, (1)求的通项公式;(2)令, ,若对一切成立,求实数的最小值【答案】(1)();(2)5【解析】试题分析:(1)根据等差数列的通项公式,前n项和公式,列方程组求解即可;(2)采用裂项相消的方法求和,分析单调性即可求参数的范围.试题解析:(1)等差数列中, , ,解得 ,()(2),随着增大而增大,是递增数列,又, (2015安徽文,18,12分)已知数列an是递增的等比数列,且a1a49,a2a38.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)由题设知a1a4a2a38,又a1

9、a49,可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2,故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn,所以Tnb1b2bn1.,巩固练习:1求下列数列的前项和:(1)5,55,555,5555,; (2);(3); (4);(5); (6)解:(1)(2),(3)(4), 当时, 当时, , , 两式相减得 ,(5), 原式(6)设, 又, ,2已知数列的通项,求其前项和解:奇数项组成以为首项,公差为12的等差数列,偶数项组成以为首项,公比为4的等比数列;当为奇数时,奇数项有项,偶数项有项,当为偶数时,奇数项和偶数项分别有项, ,所以,1(2012大纲全国,5,易)已知等差数列an的前n项和为S

10、n,a55,S515,则数列的前100项和为()A. B. C. D.1A考向3由S55a3及S515得a33,d1,a11,ann,所以数列的前100项和T10011,故选A.2(2015江苏,11,中)设数列an满足a11,an1ann1(nN*),则数列前10项的和为_2考向3【解析】a2a12,a3a23,a4a34,anan1n,以上n1个式子相加得,ana1234n,a11,an123n,2,S1022.【答案】4(2016山东,18,12分,中)已知数列an的前n项和Sn3n28n,bn是等差数列,且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn,求数列cn的前n项和T

11、n.4考向2解:(1)由题意知当n2时,anSnSn16n5,当n1时,a1S111,所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即解得b14,d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn,得Tn3222323(n1)2n1,2Tn3223324(n1)2n2,两式作差,得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2,所以Tn3n2n2.6(2015四川,16,12分,中)设数列an(n1,2,3)的前n项和Sn满足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn1|成立的n的最小值6考向

12、1解:(1)由已知Sn2ana1,有anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2),所以q2.从而a22a1,a32a24a1,又因为a1,a21,a3成等差数列,即a1a32(a21)所以a14a12(2a11),解得a12.所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列故an2n.(2)由(1)得.所以Tn1.由|Tn1|,得,即2n1 000.因为295121 0001 024210,所以n10.于是使|Tn1|成立的n的最小值为10.1(2015山东青岛模拟,5)数列an的通项公式是an,若前n项和为10,则项数n为()A120 B99 C11 D1211A考向3因为an,所以a1a2an(1)()()110.即11,所以n1121,n120.2(2016山西大同模拟,12)已知数列an的通项公式为an(1)n(2n1)cos1(nN*),其前n项和为Sn,则S60()A30 B60 C90 D1202D考向1由题意可得,当n4k3

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