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1、有限元法基础试题（A）一、填空题（ 52 分）1.1单元刚度矩阵 keBT DBd中，矩阵 B 为_，矩阵 D 为 _。1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_边界。1.3内部微元体上外力总虚功：d Wex ,xxy,yFbx uxy ,xy ,yFby v dxdy + x u,xy v, yxyu, yu, xdxdy 的表达式中，第一项为 _的虚功，第二项为 _的虚功。1.4弹簧单元的位移函数 N1 + N 2 =_。1.5kij 数学表达式：令 d j =_， dk =_， kj ，则力 Fikij 。
2、二、判断题（ 52 分）2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（）2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。（）2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。（）2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或 y 的函数。（）2.5对称单元中变形矩阵是 x 或 y 的函数。（）三、简答题（ 26 分）3.1列举有限元法的优点。（8 分）3.2写出有限单元法的分析过程。 （8 分）3.3列出 3 种普通的有限元单元类型。 （6 分）3.
3、4简要阐述变形体虚位移原理。 （4 分）四、计算题（ 54 分）4.1对于下图所示的弹簧组合，单元的弹簧常数为10000N/m，单元的弹簧常数为20000N/m，单元的弹簧常数为10000N/m，确定各节点位移、反力以及单元的单元力。（ 10 分）4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为 10GPa，杆单元长 L 均为 2m，横截面面积 A 均为-4 2210 m，弹簧常数为 2000kN/m，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元的应力。 （ 10 分）4.3对称桁架如图（ a）所示，杆单元弹性模量均为 E，横截面面积均为 A，单元长度如图，根据对称性，求图（ b）的整体刚
4、度矩阵。（12 分）（a）（b）4.4如图所示的平面桁架，确定转换矩阵TT1 ，并写出 T1 K T1 （10 分）4.5确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点1 固支，节点 2有滚柱支撑，节点 3 作用有垂直向下的力-44P=50kN。令沿梁弹性模量 E=210GPa，I=12 10m，梁单元长 L=3m。弹簧常数 k=200kN/m。（12 分）参考答案 （A）：一、填空题 （52 分）1.1 变形矩阵或应变矩阵弹性矩阵或本构关系矩阵1.2齐次边界非齐次边界1.3微元体上外力在随基点刚体平移所做虚功外力在微元体变形虚位移上所做虚功1.4 11 1.510二、判断题 （5
5、2 分）2.1 2.2 2.3 2.4 2.5三、简答题 （26 分）3.1 答：优点有：很容易地模拟不规则形状结构；可以很方便地处理一般荷载条件；由于单元方程是单个建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物件；可以处理数量不受限制和各类边界条件；单元尺寸大小可以变化；改变模型比较容易可以包括动态作用可以处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。 （8 分）3.2 答：有限元方法的一般步骤有：离散和选择单元类型；选择位移函数；定义应变位移和应力应变关系；推导单元刚度矩阵和方程；组装单元方程得出总体方程并引入边界条件；求解未知自由度；求解单元应变和位移；解释结果。（8 分）3.3 答：弹簧单元，杆
6、单元，梁单元，轴对称单元，常应变三角单元，线应变三角形单元，四面体单元等。（任意上述三种均可）（ 6 分）3.4答：变形体虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。（4 分）四、计算题 （54 分）4.1 解：沿弹簧建立 X 坐标：（ A）每个弹簧单元刚度矩阵如下：总体刚度矩阵：（ B）总体刚度矩阵方程：边界条件： F2 x 450N ，F3 x 0 ， d1x0 ， d4x 0解得： d2 x 0.027m ， d3x0.018m ， F1 x270N ， F4x 180N（ C）求单元 2 节点力解得： f?2
7、x 180N ， f?3x180N4.2 解：沿杆单元建立X 坐标：（ A）每个单元刚度矩阵如下：k1k2AE 11611L111 101N/m1k 3210611N/m11总体刚度矩阵：（ B）总体刚度矩阵方程：边界条件： F2x 5000 N ，F3x 0， d1x0 ， d4 x 0解得： d2 x 0.003m ， d3x0.001m， F1 x3000 N ， F4 x2000 N（ C）单元的应力解得： f?2x2000N ， f?3x2000Nx2f?3x =200010MPa杆单元受压A2 104有限元法基础试题（B）一、填空题（ 52 分）1.1整体刚度矩阵方程中节点荷载由两
8、部分组成，一是_，二是 _。1.2常应变三角形单元的位移函数N i + N j+ N m =_。1.3最小势能原理与虚位移原理等价，一个是以 _的形式描述，另一个用 _的形式表达。1.4计算轴对称单元刚度矩阵有三种方法，一是采用数值积分，二是_，三是 _。1.5基本的三维单元是 _。二、判断题（ 52 分）2.1边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为非其次边界。（）2.2线应变三角形单元中变形矩阵是 x 或 y 的函数。（）2.3杆单元的位移函数。（）N1+ N2 =12.4单元刚度矩阵 keBT DBd中，矩阵 B 为弹性矩阵，矩阵 D 为变形矩阵。（）2.5在梁单元中节
9、点力与位移的方向规定应该是与材料力学中规定是一致的。（）三、简答题（ 26 分）3.1简述刚度矩阵的特性。（6 分）3.2写出位移函数的含义。（4 分）3.3写出推导弹簧单元刚度矩阵的分析过程。 （7 分）3.4试列举三种有限元商用软件，并说明各自优点。 （ 9 分）四、计算题（ 54 分）4.1对于下图所示的弹簧组合，单元的弹簧常数为2000N/m，单元的弹簧常数为2000N/m，节点 3 处位移 为 0.01m，确定各节点位移、单元力和反力。 （10 分）4.2如图所示的杆单元，杆单元弹性模量为E，杆单元长为 L，横截面面积为 A，试分别计算（ a）、（b）总体 x-y 坐标下的刚度矩阵。
10、（10 分）（ a）（b）4.3对称桁架如图（ a）所示，杆单元弹性模量均为E，横截面面积均为 A，单元长度如图，根据对称性，求图（ b）的整体刚度矩阵。（12 分）（ a）（b）4.4确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点2 作用有垂直向下-44的力 P=12kN。令沿梁弹性模量 E=70GPa，I=2 10m，梁单元长 L=4m。弹簧常数 k=200kN/m。（ 10 分）4.5 如图所示梁，确定节点位移， 以及每一单元的力和反作用力。梁弹性模量 E=70GPa，I=3-4 4P 为 8 kN/m。（12 分） 10 m，梁单元长 L=4m。作用在梁单元的均布荷载参考答
11、案 （B）：一、填空题 （52 分）1.1 直接节点荷载1.3能功1.4等效节点荷载直接积分1.21对单元中心点计算1.5四面体单元二、判断题 （52 分）2.1 2.2 2.32.42.5三、简答题 （26 分）3.1 答：刚度矩阵的特性有：对称的；奇异的；主对角项总是正的。（6 分）3.2答：位移函数的含义：将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元节点的函数。当第 i 个单元自由度为1，而所有其他自由度值为0， N i 代表在整个单元域中假定的位移函数形状。（4 分）3.3 答：推导弹簧单元刚度矩阵的分析过程为选择单元类型；选择位移函数；定义应变位移和应力应变关系；推导单元刚度矩阵和方程；组装单元方程得出总体方程并引入边界条件；求解节点位移；求解单元
