《2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.1和角公式学案新人教B版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.1和角公式学案新人教B版必修4（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3. 1.1两角和与差的余弦(1) 如何用a的二角函数与 3的二角函数表示 COS( a 3 ) , COS( a + B )?(2) 两角和与差的余弦公式是如何推导的?新知初探两角和与差的余弦公式名称公式简记符号两角和的余弦公式cos( a + 3 ) = cos a COS 3 sin_ a sin_ 3Ca+ 3两角差的余弦公式COS( a 3 ) = COS a COS 3 +sin a sin 3a 3点睛公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.小试身手1. 判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ X”)
2、(1) cos(60 30 ) = cos 60 cos 30 .()(2) 对于任意实数 a , 3 , cos( a + 3 ) = COS a + COS 3都不成立.()(3) 对任意 a , 3 R, cos( a 3 ) = cos a cos 3 + sin a sin 3 都成立.()答案：(1) X (2) X (3) V2. cos 78 cos 18 + sin 78 sin 18 的值为 ()1 1A-B-1D.答案：A3.设 a 0, n，若 sin a35，1B. _A.C.答案：B4. cos 15 = #典例求下列各式的值.(1)cos 75 cos 15 si
3、n 75 sin 195 ;(2)sin 163 sin 223 + sin 253 sin 313 ;1 2cos 15 + -sin 15 .解(1)cos 75 cos 15 - sin 75 sin 195 =cos 75 cos 15 - sin 75 sin(180 + 15)=cos 75 cos 15 + sin 75 sin 15 =cos(75 - 15 ) = cos 60 = 才(2) 原式=sin(180 - 17 )sin(180 + 43 ) + sin(180 + 73 ) sin(360 -47 ) =-sin 17 sin 43 + sin 73 sin 4
4、7 =-sin 17 sin 43 + cos 17 cos 43 o 1=cos 60= 一.21x/3(3) 2 = cos 60 ,= Sin 60 , qcos 15+ #si n 15=cos 60 cos 15 + sin 60 sin 15=cos(60 - 15 ) = cos 45 =利用公式G“ +B ） , G “7）求值的方法技巧在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差 ），正用公式直接化简求值， 在转化 过程中，充分利用诱导公式， 构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆
5、用公式求值.活学活用计算下列各式的值：(1) cos 55 cos 20 - sin 55 sin 20 ;(2) cos + 0 cos 0 + sin + 0 sin 0 .解：(1)cos 55 cos 20 sin 55 sin 20 = cos 75 =cos(45 + 30)=cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 1 6 2=4.29cos0 + sinn + 0 sin(2)cos07t=cos4=给值求值问题典例(1)已知a n4n , 3是第三象限角，sin a = 5, cos5、13.求 cos( a+ 3 )的值.已知cos43a = 5, cos(
6、a + 3 ) = 5 且 a , 3 均为锐角，求 COS3的值.5 cos( a + 3 ) = cos a cos 3 sin a sin 31213,/ a , 3均为锐角， - 0 a+ 3 0.亠43由 cos a = 5, COs( a + 3 ) = 5,得 sin a345，sin( a + B ) = 5.3 44 - cos 3 = cos( a + 3 ) a = COS( a+ 3)COS a + Sin( a + 3 ) sin a = 一 X - + -5 55324X -=.525给值求值的解题策略(1) 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意
7、观察已知角与所求 表达式中角的关系，即拆角与凑角.(2) 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的 变换.常见角的变换有： a= ( a 3 ) + 3 ； 2 a= ( a + 3 ) + ( a3 )； 2 3 = ( a + 3 ) ( a 3 ).活学活用n ,琴，则cos4+ e的值为1 .已知cos12e= tz , e133 n21313解析：coscosnn4 +e = cosGcos0 sinn&sine#=尹-13 尹35, L 7灵13 厂26 .n nnnn cos a = cos a + 二 一丁 = cos i a+ 丁 cos +
8、sin i a + sin_ .44.44.4二；：给值求角问题典例(1)已知 a， 3 均为锐角，且 sin a2 55，sin 3，贝V1114,nn，则 3=1已知 cos a = 7, cos( a + 3 )= 解析(1) T a , 3均为锐角,cos a31010 - cos( a 3 ) = cos acos 3 + sin aT X零+罕乂诣=又；sina sin 3，0 3 an2，0 a 3n4.(2) T a ,3 i0, Q，a + 3 (0 ,111T cosa = 7, cos( a+3)=14 sin4戶.( a =, sin(a+3) = 口3 )14，二 c
9、os3 = cos( a +3)a = cos( aT 0 3nn2，337t+ 3 )cos3a + sin( a + 3 ) sin答案一题多变1.变条件若本例中(1)中“sina ”变为acos”a ca , si n 3”变为cos 3解析：/ a,3均为锐角，二sina=f，sin 33 ：10“荷，cos(a 3 ) = cos acos3 + sin a sin2 .51053 10235105102又 T sin ansin 3 , 0a 3 2，nya 3 0,故 a 3 = -4.12.变条件若本例(2)变为：已知cos a = -, cos(13a 3) = 14,n .
10、且 0 3 a ，求3的值.#1解：由cosa = 7,0 a7t#nn由 0 B a 2，得 0 a 3 2.又因为13COS( a 3 ) = 14,=-x所以 sin( a 3 ) = ： 1 COS2 a 3=由 3 = a ( a 3 )得 cos 3 = cos a ( a 3 ) = cos a cos( a 3 ) + sin a sin( a 3 )12,所以3 =n3.3已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.1.cos 20 =()A.cos 30 cos 10 sin
11、 30 sin 10B.cos 30 cos 10 + sin 30 sin 10C.sin 30 cos 10 sin 10 cos 30D.cos 30 cos 10 sin 30 cos 10解析：选Bcos 20 = cos(30 10)=cos 30 cos 10 + sin 30 sin 1012.2sin 15cos 15的值是(B._22解析：选B原式=sin 30 sin 15 cos 30cos 15=(cos 30cos 15 sin 30 sin 15 )=cos(30+ 15 ) = cos 453.已知a为锐角，3为第三象限角，且 cos12313, sin 3 = 5，则 COS( a3 )的值为（A.6365B.336563C.6533D.65解析:、 12 .a 为锐角，且 cos a = 13 , sin13a = -J： 1 cos 2 a3为第三象限角，且sin3 cos 3 =1 sin523 =4, cos( a 3 ) = cos5a cos 3+ sin a sin 3 4 +2 x135135136365故选A.4.
