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1、21函数及其表示 知识梳理1函数与映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数4必记结论函数与映射的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域
2、相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点诊断自测1概念思辨(1)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(4)f(1)x，则f(x)(x1)2(x1)()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P23T2)下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是()答案C解析由函数定义知，定义域内的每一个x都有
3、唯一函数值与之对应，A，B，D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义故选C.(2)(必修A1P18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)答案A解析A项，函数g(x)|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B项，函数f(x)|x|，g(x)x(x0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C项，函数f(x)的定义域为x|x1，g(x)x1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D项，由解得x1，即函数f(x)的定义
4、域为x|x1由x210，解得x1或x1，即g(x)的定义域为x|x1或x1，两个函数的定义域不相同，不是相等函数故选A.3小题热身(1)(2018广东深圳模拟)函数y的定义域为()A(2,1) B2,1 C(0,1) D(0,1答案C解析由题意得解得0x1.故选C.(2)若函数f(x)则ff(1)的值为()A10 B10 C2 D2答案C解析因为f(1)2，所以f(2)2.故选C.题型1函数的概念 集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示从A到B的函数的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xy用定义法答案C解析依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应
5、，选项C不符合故选C.(2018秦都区月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是()y1，y2x5；f(x)x，g(x)；f(x)x，g(x)；f1(x)()2，f2(x)2x5.A B C D用定义法答案C解析对于，y1x5(x3)，与y2x5(xR)的定义域不同，不是同一函数；对于，f(x)x，与g(x)|x|的对应关系不同，不是同一函数；对于，f(x)x(xR)，与g(x)x(xR)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于，f1(x)()22x5，与f2(x)2x5(xR)的定义域不同，不是同一函数综上，以上是同一函数的是.故选C.方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1判断一个对
6、应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点见典例1.2两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数见典例2.冲关针对训练1下列图象可以表示以Mx|0x1为定义域，以Nx|0x1为值域的函数的是()答案C解析A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确故选C.2下列函数中一定是同一函数的是_答案解析yx与yalogax定义域不同；y2x12x2x(21)2x相同；f(u)与f(v)的定义域及对应法则均
7、相同；对应法则不相同.题型2函数的定义域(2015湖北高考)函数f(x)lg 的定义域为()A(2,3) B(2,4C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,6列不等式组求解答案C解析依题意，知即解之得2x3或3x4，即函数的定义域为(2,3)(3,4故选C.已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.已知f(x)，xa，b，求fg(x)的定义域，则ag(x)b.答案B解析由函数f(x)的定义域为(1,0)，则使函数f(2x1)有意义，需满足12x10，解得1x，即所求函数的定义域为.故选B.结论探究典例2中条件不变，求函数g(x)f
8、(2x1)f(3x1)的定义域解函数f(3x1)有意义，需13x10，解得x，又由f(2x1)有意义，解得1x，所以可知g(x)的定义域为.条件探究若典例2中条件变为：“函数f(x1)的定义域为(1,0)”，则结果如何？解因为f(x1)的定义域为(1,0)，即1x0，所以2x11，故f(x)的定义域为(2，1)，则使函数f(2x1)有意义，需满足22x11，解得x1.所以所求函数的定义域为.方法技巧1求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解见典例1.(2)抽象函数(见典例2)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数fg(x)的定义域
9、由ag(x)b求出若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求2求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接冲关针对训练1(2017临川模拟)已知函数yf(x1)的定义域是2,3，则yf(2x1)的定义域是()A3,7 B1,4 C5,5 D.答案D解析由yf(x
10、1)定义域2,3得yf(x)定义域为1,4，所以12x14，解得0x.故选D.2(2018石河子月考)已知函数yf(x)的定义域是(，1)，则yf(x1)的定义域是()A.B.C(，1)D(，2)答案A解析函数yf(x)的定义域是(，1)，yf(x1)中，自变量x应满足解得即x1，得x，所以f(t)lg ，即f(x)lg (x1)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)待定系数法解设f(x)ax2bxc，由f(0)0，得c0，由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，得ab.所以f(x)x2x(xR)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且
11、f(x)2f1，求f(x)方程组法解由f(x)2f1，得f2f(x)1，消掉f，可得f(x).方法技巧函数解析式的常见求法1配凑法已知fh(x)g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换见典例1.2待定系数法已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，见典例3.3换元法已知fh(x)g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元应用换元法时要注意新元的取值范围见典例2.4方程组法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f，f(x)等，可根据已知等式再构造其他等
12、式组成方程组，通过解方程组求出f(x)见典例4.冲关针对训练1(2018衢州期末)已知f(x)是(0，)上的增函数，若ff(x)ln x1，则f(e)()A2 B1 C0 De答案A解析根据题意，f(x)是(0，)上的增函数，且ff(x)ln x1，则f(x)ln x为定值设f(x)ln xt，t为常数，则f(x)ln xt且f(t)1，即有ln tt1，解得t1，则f(x)ln x1，则f(e)ln e12.故选A.2已知二次函数f(2x1)4x26x5，求f(x)解解法一：(换元法)令2x1t(tR)，则x，所以f(t)4265t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)解法二：(配凑法)因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)解法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)3已知f(x)满足2f
