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1、等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。 但在求 体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方 法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四 棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点 到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计 算三棱锥的体积。例118.(本小题満分14分如图：边长为2的正方体州3CQ中* 与召G相交于点6门)求证，BCJ!甲面AAXD
2、XD.求证；BC. 平佝场DC；(3)求四面体目-EQG的体积”9G血(本小题确分M分)(1)证明：连结D,.正方体XECD-4西GDj中=且= ga ABCD是乎行四边形二 BC /2分T BG在平面AA.D.D外.#0在平血AADVD内二 BCJ!平面4 分(2)证聘I正方体ABCD -中，HC；丄场(?5分DC LBC DC 丄 C】C:、DC 丄平面BCCBDC丄BC *7 分v B.CDCS交于点C /. BC,丄平面比DC . 9分絡正方体ABCD-AC.D,中sam,c,2 .10 分点D到平面BB,Ct的距蔑尊于点D到平面BB.C.C的距离*为丄 12分1弓:匕g “局=-x2
3、x2 = -分例2 . (2011佛山一中三校联考)如图，已知三棱锥 A BPC中，AP丄PC, AC丄BC,M为AB中点，D为PB中点，且 PMB为正三角形。(I) 求证：DM /平面APC ;(H)求证：平面 ABC丄平面 APC ；例2 .解：(I)由已知得，MD是 ABP的中位线MD / AP2分MD 面APC, AP面APCMD / 面APC4 分(n)PMB为正三角形，D为PB的中点，MD PB,.5 分AP PB.6 分又 AP PC,PB PCP AP面PBCBC 面 PBCAP BC又 BC AC, AC APA BC面APCBC 面ABC 平面ABC丄平面APC9分10分(
4、川)若 BC = 4 , AB = 20,求三棱锥 D BCM的体积.(川) MD 面PBC , MD是三棱锥 M DBC的高，且MD = 5、311分又在直角三角形 PCB中，由PB = 10, BC = 4,可得PC = 2、21 12分于是S BCD2Sbcp = 2 21，13分VdBCMVm DBC 3Sh 3例3.(茂名2010二模)如图，在底 面是菱形的四棱锥 S ABCD中，SA=AB=2 , SB SD 2 2.(1) 证明：BD 平面SAC;(2) 问：侧棱SD上是否存在点E,使得SB/平面ACE ?请证明你的结论;(3) 若 BAD 1200，求几何体 A SBD的体积。
5、例3解：(1) Q四棱锥SABCD底面是菱形,BD AC 且 AD=AB ,SA2AB2SB2, SA2AD2SD2SAAB,SA AD ,又ABADA ,2分SA平面ABCD ,BD平面ABCD，从而又SAACA,BD平面SAC。4分SA BD 3 分（2）在侧棱SD上存在点E,使得SB/平面ACE，其中E为SD的中点又 SA=AB=2 , SB SD 2 2.证明如下：设BD AC O，则0为BD的中点， 又E为SD的中点，连接0E,则0E为 SBD的中位线。 7分OE /SB，又 0E 平面 AEC，SB 平面 AEC 8 分SB/平面ACE10分(3)当BAD 1200 时，S ABD
6、1 ABAD sin1201 2 23.312 分222几何体A SBD的体积为112 3Va SBDVs ABD S ABD SA32 .14分333点到面的距离、知识点（求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；（2 ）转移法：若直线 AB/平面 ，则直线AB上任意一点到平面的距离相等;（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。、基础热身1、在棱长为a的正方体 ACi中找出表示下列距离的垂线段直接法：（1） 点A到面BCC1B1的距离；（2）B1 D1到面ABCD的距离；（3） 点A到面BDD1B1的距离
7、(4)求C到平面BDC1的距离。A,C转移法：棱长为1的正方体 ABCD ABCD 中，E,F分别是棱 AA,BB中点，求点B到平面DEF的距离提示：因为AB/EFAB/平面DEF，所以点B到平面DEF的距离即为点 A到平面DEF的距离。作 AH ED，证明AH平面D EF。AH5【活学活用】3、在棱长为1的正方体ABCD 面ADE的距离。ABCD 中,E,F分别为棱BB和CD的中点,求点F到平提示：法直接法：将三角形扩大到平行四边形,高FH 平面ADGE 。取CC 的中点G ,连接DG、EG ,过F作垂线FH丄DG。可以证得EG/ AD ，所以平面 A DGE，即平面ADE。可以证得EG丄平
8、面DCCD，所以EG丄FH由 FH 丄 D G、EG 丄 FH , EG n DG = G 可知 FH 丄平面 A D GE所以FH即F到平面A D E距离。根据勾股定理可以求得:DG21(I)25 , DG 5242又知： FD G 的面积=s 四边形 DCC D - s DD F - s D CG - s fgcFHDG3 510ABF法二：转移法:FP/平面 ADE，作 PQA E。等积法求点到面的距离：4.已知在棱长为1的正方体 ABCD-ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求点B到平面AEC F 的距离。ADE-Bf等积法 Vb aefVf aeb3三、知识运用例1:如图四棱锥
9、S ABCD , ABAD, AB/CD,CD 3AB,fi面ABCD，E,F是PA和AB的中点。/ BCD=90 0。求点A到平面PBC的距离。面 SAD 面ABCD , M 是线段 AD 上一点，AB AM 1,DM DC, SM AD .（1）证明：BM面SMC求点C到面SMB的距离。EX1如图，在边长为 a的菱形ABCD中， ABC 60 , PC（1）求证：EF平面PBC ；（2）求E到平面PBC的距离。提示：由（1 ）知EF/平面PBC，所以E到平面PBC的距离等于点 F到平面PBC的距离aFH BC，FH即为所求。2例2 : （2010江苏卷）如图，在四棱锥 P-ABCD中，PD
10、丄平面 ABCD ,解析（方法一）分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF，则：易证DE / CB, DE /平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC丄平面PCD，所以平面 PBC丄平面PCD于PC,因为PD=DC , PF=FC，所以 DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。易知DF= Z，故点A到平面PBC的距离等于、2 。2（方法二）等体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为 AB / DC，/ BCD=90 0,所以/ ABC=90 0。从而 AB=2 , BC=1，得 ABC 的面积 S abc
11、 1。11由PD丄平面ABCD及PD=1，得三棱锥 P-ABC的体积V 丄S Abc PD 丄33因为PD丄平面 ABCD , DC平面ABCD，所以PD丄DC。又 PD=DC=1，所以 PC.PD2 DC22 。由 PC 丄 BC, BC=1，得PBC的面积SPBC由 V A PBCVP ABC ,Svpbc3故点A到平面PBC的距离等于2 。EX2:（2010广东文数）如图4,弧AEC是半径为a的半圆，AC为直 径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点 F 满足 FC 平面 BED,FB=、. 5a（1）证明：EB FD（2）求点B到平面FED的距离.又 E
12、是弧AC的中点，AC为直径， BC EB即BDEB FC 平面 BDE ,EB平面 BDE , FC EB又BD 平面FBD ,FC平面FBD且BD FC C EB 平面FBD又 FD 平面FBD, . EB FD【解析】（1）证明：点 B和点C为线段AD的三等分点，点B为圆的圆心（2）解：设点B到平面FED的距离（即三棱锥 B FED的高）为h . FC 平面BDE , FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形由已知可得BC a，又FB.5a FC.(5a)2a2 2a在 Rt BDE 中，BD 2a, BEa，故 S BDE2a a11 VF BDE S BDE FC 33BDE为直角三角形，2小23a 2a a , 3又 EB 平面FBD，故三角形EFB和三角形EF 、6a, DE 5a，在 Rt FCD 中，FD S FED、21 2aVf BDE4 - 21 a ,Vb fed 即 Za2 h 2a3，故 h323即点B到平面FED的距离为h4 21a备用题:1、四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，PD 底面ABCD，PD=DC=BC= i, AB=2,AB=2, M为EBi的中点，求点 M到平面ACDi的距离.MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD ,AB平面BCD，4、如图 BCD与3、如图几何体是由正方体 ABCD
