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1、一维线性谐振子势能为 能量本征值 能量本征函数 递推公式 求导公式2.1 利用Hermite多项式的递推公式，证明谐振子波函数满足下列递推关系：并由此证明，在态下，。证：利用 ，2.2 利用Hermite多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下列关系：证明：Hermite多项式的求导公式， 所以 2.3 计算一维谐振子， 对于基态， 。2.4 一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。 （解法一）：（二）（1） (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解：几率密度 令 ，得 由的表达式可知，
2、时，。显然不是最大几率的位置。 可见 是所求几率最大的位置。2.6：试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。 证：线性谐振子的S-方程为 把代入上式，有 把代入式左边，得 只有当时，左边 = 右边，即 。 ，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。2.7： 时，处于谐振子势中的一粒子波函数波函数其中、为常数，且厄密多项式是归一的，即： 区别（1）写出表示式；（2）在该态下粒子能量的测值及相对几率；（3）时，求及随时间的变化。解：（1）方法一 把写成谐振子本征函数的叠加方法二。 把按谐振子本征函数展开所以：（2）可测得的能量为 ， 。测得二者的相对几率为（2） 因、都是偶宇称，所以是偶
3、宇称，。且不随时间变化。2.8 在时，一个线性谐振子处于下列归一化的波函数所描写的状态 ， 式中是线性谐振子的第n个本征函数。（1）试求的数值；（2）写出在时刻的波函数；（3）在时谐振子能量的平均值是多少？秒时是多少？解：（1），解得。（2）。（3）。由于谐振子的哈密顿量不显含时间，所以能量是守恒量，其平均值不随时间变化，因而任何时刻谐振子的能量平均值都是2.9 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 或。上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 动量的平均值为 2.10 .在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为
4、，如果粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：先把归一化，由归一化条件， ， 一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为 将按一维无限深势阱中粒子能量的本征函数展开， 所以动量的几率分布函数为 2.11 .在势阱宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数 描写，求粒子能量的可能值和相应的几率。解：一维无限深势阱中运动的粒子，能量的本征函数和本征值为 方法一：用三角函数把化为若干正弦函数的叠加可见 ，能量的可能值；， 能量的可能值 ；方法二：把按能量的本征函数展开 由三角函数的正交性 得，能量的可能值；， 能量的可能值 ；2.12 一维运动粒子的状态是 其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 将按自由粒子动量的本征函数展开， 应用公式： 动量几率分布函数为 (2)
