第七章 机械振动7-1．两根轻弹簧与物体的连接方式如图（a）、（b）所示，物体质量为，弹簧劲度系数为和，水平面光滑．求这两种情况下振动的固有频率．解 （a）以物体的平衡位置为原点，建立坐标轴水平向右．设位于时，两弹簧分别伸长和，则．因两弹簧弹性力相等，所以物体所受合力．设由两弹簧组合而成的“组合弹簧”的劲度系数为，于是由此求得“组合弹簧”的劲度系数为常量，可见物体所受合力为线性回复力，所以系统作简谐振动，振动的固有频率 （b）以物体的平衡位置为原点，建立坐标轴水平向右．位于时，弹簧1被拉长，弹簧2被压缩，所受合力由此求得“组合弹簧”的劲度系数为常量，可见物体所受合力为线性回复力，所以系统作简谐振动，振动的固有频率7-2．如图所示，半径为的光滑圆弧轨道在竖直平面内，为其圆心．一质点质量为，在圆弧轨道最低点附近往复运动．试证明质点作简谐运动，并求振动的周期．解 建立极坐标系，正向如图．由牛顿第二定律，横向的运动微分方程为当时，，上式化为可见质点作简谐运动，且知，所以振动的周期7-3．弹簧振子的质点质量为，其运动学方程为．求：（1）振幅和周期；（2）质点的初始位置；（3）质点位于初始位置时所受合力；（4）质点在时的位置、速度和加速度．解 （1）由运动学方程可见，振幅，，周期（2）由运动学方程可见，时，质点的初始位置．（3）对运动学方程求时间导数可得时，根据牛顿第二定律可知质点位于初始位置时所受合力（4）把代入运动学方程和（3）中求得的、表达式，即可求得质点在时的位置、速度和加速度分别为7-4．一质点作简谐振动，振幅为，速度幅为，取速度为正最大值时为计时起点．求：（1）周期；（2）加速度幅；（3）运动学方程．解 设运动学方程为，则（1）由，可知，所以周期为（2） （3）由已知条件时、，可知、，即 ，由以上二式求出，所以运动学方程为．7-5．如图所示为两个振幅和频率均相同的简谐振动的振动曲线．求两个简谐振动的运动学方程，并求出哪个简谐振动相位超前，超前多少？解 由图可见，，．所以．对振动(1)而言 当时所以，运动学方程为．对振动(2)而言，．当时 ，所以，运动学方程为．这两个简谐振动的相位差，说明振动(1)比振动(2)超前．7-6．一水平放置的弹簧振子，质点质量为，作简谐振动，振幅为，质点运动的最大加速度为．求：（1）系统的机械能；（2）质点通过平衡位置时的动能；（3）以时为计时起点，系统动能与势能相等的时刻．解 根据和，可以求出．由，可知．（1）系统的机械能 （2）通过平衡位置时，势能，所以动能．（3）由已知条件时、，可知 ， 由以上二式求出．于是 动能与势能相等的时刻，，即 可求出 ， 所以，．7-7．有两个同方向同频率的简谐振动，它们的运动学方程分别为和（国际制单位）．求：（1）合振动的振幅和初相位；（2）若另有一振动，为何值的振幅最大？为何值的振幅最小？ 解 （1）分别作与时刻的和对应的旋转矢量和，如图所以．由旋转矢量图可见合矢量的长度为，与轴夹角为．于是可知合振动的振幅，初相位．（2）和同相，即时，的振幅最大；和反相，即时，的振幅最小．7-8．有两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，合振动与第一个分振动的相位差为，已知第一个分振动的振幅为．求第二个分振动的振幅及两个分振动的相位差． 解 根据已知条件作旋转矢量图，如图所示．由图可见，第二个分振动的振幅．由图可见，两个分振动的相位差．7-9．某阻尼振动（弱阻尼状态）的振幅经一“周期”后变为原来的，求振动的“周期”为振动系统固有周期的几倍．解 弱阻尼振动，由题意所以 根据，可知于是 7-10．质量为的质点，挂在劲度系数的弹簧下端，沿轴运动．质点除线性恢复力外，还受策动力和阻力作用．求当阻力系数增为原来的倍时，质点稳态振幅减为原来的几分之几？解 根据已知条件，，．故弱阻尼受迫振动的稳态振幅由于和，所以当，，因此当阻力系数增为原来的倍时，质点稳态振幅减为原来的三分之一．（第七章题解结束）。