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1、高中数学解题思想方法技巧全集11_钥匙开门_各归各用 你的首选资源互助社区 数学破题36计 第13计 钥匙开门 各归各用 ?计名释义 开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性. 数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非. 定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时
2、，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢,由此，引出了“回归定义”的解题之说. ?典例示范 【例1】 F、F是椭圆的两个焦点，|FF|=2c, 椭圆上的点P(x, y)到F(-c, 0), F(c, 0)的距离之121212 cc和为2a. 求证:|PF|=|PF|= a，x,a,x.12aa22xy【分析】 一定要搬动椭圆方程吗,这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程却有b无c，,122ab搬动椭圆方程肯定是舍近求远. 解答】 对|PF【| 和 |PF|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF|= r, |PF|= r的方程组 121122，,2?,rra12,22222222 ?-?消y, x和
3、c得 rr ? ,(，)，?,r,4cxrxcy,112,222rxcy,(,)，?2,c,r,a，x1,cc,a?，?联立，解得 故|PF|= |PF|= a，x,a,x.12,caa,r,a,x2,a,【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远. 【例2】 设数列a的前n项和S=1+algb, 求使成立的b的取值范围. limS,1nnnnn,【思考】 应首先分清a是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题. n【解答】 a=1+algb, 若lgb=0, 即b =1时， a=S=1与矛盾. limS,11111nn,1,?b?1,于是a= 而a=(1+algb)-(
4、1+algb). 1nnn-11, 你的首选资源互助社区 a1lgblgbn?a(1-lgb)=-algb, =为常数，a是首项为公比q=的无穷递缩等比数列,nn-1nlgb,1lgb,11,lgban,1lgb(已知存在)，?q=?(-1,0)?(0,1). limS,1nn,lgb,1lgb2lgb1由-1, 即0, 得lgb1, lgb,1lgb,12lgb1又00lgb1,于是0lgb ?b?(1,) ? ,10lgb,12lgb,0或lgb,1,lgb由01 ?b?(0, 1) ?综合?、?，取,lgb,0,lgb,1lgb,1,并集，所求b的取值范围为b?(0，1)?(1,). 1
5、0【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中). (1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率; (2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为(=50,60 ,70,80)元，求的概率分布和期望.【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有 关计算公式也无法准确解题，例如:m(1)随机事件A发生的概率0?P
6、(A)?1, 其计算方法为P (A)=, 其中m ，n分别表示 n事件A发生的次数和基本事件总数; (2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与A必有一个发生，故A与A既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P(A)=1; (3)离散型随机变量的期望，E=xp+xp+xp+, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散1 12 2n n型随机变量的平均水平; 222(4)离散型随机变量的方差D=(x-E)p+(x-E)p+(x- E)p+，方差反映了离散型随机变量发1122n n生的稳定性. 3A【解答】 (1)基本事件总数n=C=35, 设事件A=任取3球，至少有一个红球，则事
7、件 =任取37球，全是白球. AA?A与为对立事件，而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能). 134AA?P()=,于是P (A)=1-P ()= 你的首选资源互助社区 34即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为 .3531C,C434(2)=50表示所取4球为3白1红(?310+120=50),P (=50)= ,;435C722C,C1834=60表示所取4球为2白2红(?210+220=60), ?P (=60)= ,;435C731CC1243=70表示所取4球为3红1白(?320+110=70), ?P (=70)= ,;435C74C14=80表示所取4球全为红球, ?P
8、 (=80)= ,.435C7于是的分布列为: 50 60 70 80 P 418121 35353535418121440?D=50+60+70+80=(元). 353535357440即该顾客获奖的期望是?63(元). 7?对应训练 22xy2221M为双曲线上任意一点， F为左焦点， 求证:以MF为直径的圆与圆x+y= a相切. ,11122ab2:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相切. 3: 2 2(1)E(a+b)=aE+b; (2)D=E- E . 24M为抛物线y=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切. ?参考答案 2
9、、100以内的进位加法和退位减法。11MF的中点为P, 设|PF|= r, 连接PO、MF,|PO|=|MF|(中位线性质) 1122211?|PF| - |PO|=(|MF| - |MF|)=?2a= a, 11222222即|PO|= r-a, 故以MF为直径的圆与圆x+y=a内切. 19.直角三角形变焦关系：2M为椭圆上任一点，MF为焦半径，MF的中点为P, 设|PF|= r, 连OP、MF. 1112推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.11则|OP|=|MF|=(2a-|MF|)= a-r 2122?以MF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切. 你的首选资源互助社区 八、教
10、学进度表第1题解图 第2题解图 3(1)?E=xp+xp+xp, 1 12 2n n?E (a+b)= (ax+b)p+(ax+b)p+(ax+b)p= a (xp+xp+xp)+b(p+p+p) 1122nn1 12 2n n12n= aE+b (?p+p+p=1). 12n222(2)D=(x- E)?p+(x- E)p+(x- E)p+ 1 12 2n n23.53.11加与减（一）4 P4-122222=(xp+xp+xp+)-2E(xp+xp+xp+)+E(p+p+p+) 12n1 12 2n n12nn12其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。五、教学目标：222 2=E?1=E- E. -2E?E+Ep,4F， ,0,2,p准线l:x=,作MH?l于H，FM中点 ,2分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ?y 轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线. 10.三角函数的应用111?|PQ|= (|OF|，|MN|),|MH|,|MF|,r,222分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:?以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图
