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1、构造椭圆模型巧解题湖北省优秀学科教师黄冈学术带头人黄冈名师黄冈骨干高级教师黄冈师范学院硕士生导师 黄冈市中考命题审题组成员黄梅首届名师黄梅十佳教师国家奥赛优秀辅导员中国奥赛一级教练员黄梅一中王卫华邮编 435500数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构，它是数学中解决问题的一种重要途径其中构造椭圆模型解题就是比较典型的题型.一.巧借椭圆模型求最值例1.求函数u = . 2t 4 6 -t的最值.解：设 x - .2t 4, y -6-t,则 u 二x，y且 x2 2y2 =16（0 乞 xE4 , 0EyE2.2）所给函数化为
2、以u为参数的直线方程 -x u，它与椭圆x2 2y2二16在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）Um i产2 2，相切于第一象限时，u取最大值y = X u 2222= 3x2 -4ux 2u -1 0x2 2y2 =16解二=，得 u = 2 6，取 u = 2 6，. umax = 2 6 .点评：已知等号右端根号内t同为t的一次式，故令；2t 4二m,无法 转化出一 元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规 解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元构造椭圆模型求 解问题.该题为用常规法较难求的题，但运用数形结合，构造直线y=-x+u，
3、求u的最值，即求直线在y轴上的截距的最值，再利用数的严谨，灵活地解决了问 题.2 巧借椭圆模型求值域例2求f(x) = x 1 一“的值域.V 31 2 2 2 2 解：令y1 ZX ,罕.Z 1，(y _0)，即椭圆上半部分，“ X y .311232 2问题转化为点M(x,y)在椭圆二.仝=1上半部分，求f = x y最值，令1 123.,；2；3- 30(0 冬二乞二)，f = x y = cossinsin()：)，236y = sin vI 3max.30- , fmin6.301 - 2x2飞-，即 f(x)=x”飞-的值域为卜30 301三.巧借椭圆模型解方程例 3 Vx3 -2
4、 + 2 + a/j?+2k+2 = 4解：由原方程可得点评：常规方法是经过两次平方去根号求解， 但运算繁杂，难免不出错.如 果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令 仁y2得：则点M (x，y)的轨迹是以F1 (-1，0)，F2 (1，0)为焦点，长轴长为4 的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标.四.巧借椭圆模型判断曲线形状例4.已知x、y R,且满足.x2 4x 4 y2二；| x y 一2 |，试判断点M 的轨迹是怎样的曲线.简析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点 M到点(2，0)的距离，从而可联想右边可化为
5、(x-2)2+y2 _ 迂点M到直线x+y-2=0的距离，即有g 二T，由此联想到椭圆的第二定b0)，设 A(acosa，bsina )，B(acosB， bsin B ) 则不等式的左端即为椭圆上两点 A，B间的距离易知|AB| 2a成立.六巧借椭圆模型求轨迹例6.如右图， ABC的周长为6，| AB | = 2.(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，AB的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系，求以 A、B为焦点且过点C的椭圆方程；(2) 设M是(1)中椭圆上与A、B不共线的任意一点， AMB的内心为 点P (三条内角平分线交于一点称为三角形的内心)，求点P的轨迹方程.答案：(1
6、)v | AC | + | BC | = 4= a = 2， 2 2又| AB | = 2=4 -1 = 3,故所求的椭圆方程是 1 43(2)如右图，设P (x，y)、M (X0，y)，因为PIMP | ipn r 由巴I an I=2及椭圆性质知1 xo22 2 =1Xn1XnXo,N4Xo,O).IMP |由 一|PN|1X =：Xo21y=3yP分线段MN的比 =2，由定比分点公式知X0yo=2x,代入=3y.2匹=1得,432XoAMB的内心，由内角平分线性质定理，可知|MA | AN | AN | NP |=且=, |MB | |NB| AM |PM |故 I MA I I MB I = I PM I |MA|+|MB I| AN | 一 |NB | = |NP | I AN I I NB I 由椭圆的第一定义知I MA I + I MB I = 4, 又 I AN I + I NB I = I AB I = 2, .IMA_I IAI2点P的轨迹方程为x2 + -1 .1
