高斯滤波器和2RC滤波器

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1、第五章高斯滤波器5.1介绍高斯滤波器被广泛应用于表面轮廓分析。美国标准（美国机械工程师协会 2002）和国际标准（国际标准化组织1996）都对它进行了阐述。高斯滤波器的 权重函数（滤波器在时域和空间域的定义）如下：5.1S3) =exp-n()2aAcaAc式子中a = J1K2而=0.4697,x是权重函数距离原点的位置，4浇粗糙度中 长波波长的截止频率。通过对连续函数S3）进行傅里叶变换可以得到函数的传递特性，变化如下：Sf(X) = J8 S(x)edx =产工。-兀(左)2。心丘=。-兀(咋)2 5.2 一8-8 aAc从等式5.2，能够看出该正弦波振幅有衰减，其波长截止波长（A=Ac

2、）是0.5,因此 在截止处，滤波器传递了 50%。下面的例子展示了，在给定权重函数下，其高斯 滤波器传递曲线的样子。_ 范例5.1在给定空间域AcxAcT，描绘高斯滤波器S。其中让如=0.8mm， 采样间隔* = 1pm。下面是MATLAB生成的代码，并且其所描述的图展示在（图5.1 a）。图5.1 a绘制高斯滤波器；=0.8mm，b高斯滤波器传递特性0.0030.0020.00101Distance (mm)0.1110Wavelength (mm)lambdac=0.8; % in mmdx=0.001; % in mmx=(-lambdac:dx:lambdac);alpha=0.469

3、7;S=(1/(alpha* lambdac). * exp(-pi* (x/(alpha* lambdac).A2);% generate the Gaussian filterS=S/sum(S); % normalize to unit sumplot(x,S);xlabel(Distance (mm)；ylabel(Weighting function7);范例5.2产生高斯滤波器S的振幅传输特性，并且评估正弦波的振幅传输特 性，其截止波长Qc=0.8mm)。高斯滤波器的传递特性能够同样获得，通过借助第四章4.4范例所示的矩形 滤波器例程。传递特性如图5.1b所示。该正弦波由0.8mm

4、波长组成，其振幅衰 减为0.5(Sf的阵列元素有11个)。因此高斯滤波器在截止频率处，传输量为50%。 注意在图5.1b所示的传递特性中，可以清楚的看到，在其截止频率处有一个坡 度过程，并没有直上直下的锋利过渡。这意味着滤波器不能立刻抑制所有波长小 于截止频率的波长，而是在截止频率处使它们逐渐变弱。这个传递特性也能够被 描述通过直接对等式5.2采样。m=size(S,1); % length of Gaussian filterl=8; % length of a profile is assumed to be 8 mmn=l/dx; % number of profile pointsS=

5、zeros(n/2-floor(m/2),1); S; zeros(n/2-floor(m/2)-1,1);% center the filter and zero-pad to 8000 longSf=fft(S); % DFT of Sj=(2:1:floor(n/2)+1); generate wavelength array for X axis of% transmission plotwave=n*dx./(j-1);semilogx(wave,100*abs(Sf(2:floor(n/2)+1,1);xlabel(Wavelength (mm)；ylabel(Amplitude

6、(%)；5.2高通和低通滤波器迄今为止描述的滤波器都是低通滤波器，因为它只能传递低频部分(波长大 于截止波长)。第3章和第4章所描述的矩形滤波器和步进滤波器也都是低通滤 波器。低通滤波器是一个平均滤波器因为它能产生一个光滑的轮廓。一个滤波器 也能够被设计成只传输高频的信号。这种滤波器是众所知周的高通滤波器。高斯 高通滤波器的传递特性如下Sf(X) = 1- e(人)5.3这个高通高斯滤波器在截止波长处也传递50%。这是很重要的，因为它阐释 了高斯低通和高通在传递上的互补性。这可以表明高频信号与低频信号的差异仅 仅表现在原始轮廓。因此用两种不同滤波器同时捕捉高频和低频信号是没有必要 的。5.3用

7、高斯滤波器量化粗糙度、波纹度和形状滤波器的输出是粗糙度，波纹度还是形状(三者为专业术语)，取决于滤波 器的类型(高通或者低通)和截止波长的阈值。如之前第3章所述，因为粗糙度， 波纹度还是形状都有自己明确定义的带宽范围，所以构造带宽的上限和下限截止 波长要符合各自要求。ASME B46.1标准中定义截止波长hw作为波纹度的长波 截止波长，bw作为波纹度的短波截止波长，Ac作为粗糙度的长波截止波长，b 作为粗糙度的短波截止波长。Ac的选择等于Asw。ASME B46.1与ISO 11562两 者都已经给出了截止波长的推荐阈值。除此之外，他们也提供了进一步的指导对 于截止比率的选择。例如，选择Ac与

8、一个适当的Ac/As比率将限制探针的大小 (美国机械工程师协会2002)。滤波器与截止波长As相关联构成低通滤波器，与此相对应滤波器与截止波长如相关联，则构成一个高通滤波器。上述这对滤波器应用到轮廓上输出的是 粗糙度。如果想获得波纹度需要调整到bw（低通”cw（高通）。形状通常包含了所 有大尺寸波长，因此下端的截止波长为f，通常来说这样就足够了。但值得注意 的是在ASME B46.1标准中并没有定义f。图5.2举例说明了上述滤波器的不同。图5.2划分粗糙度轮廓、波纹度轮廓、形状轮廓的五种滤波器的传递特性Qs=25um&=0.8mm,久 sw=0.8mm,久 cw=8mm, A/=8mm）100

9、10102Wavelength (mm)Low pass roughnessHigh pass roughness Low pass waviness High pass wavinessLow pass form综上所述，很显然根据粗糙度或者波纹度的定义，我们需要两个滤波器同时 操作来获得。然而事实上有些简单化的公共认可，这样通过一个信号的滤波操作 也可以简单的获得粗糙度或者波纹度。首先，截止波长为b的低通滤波器有时 可以被忽略，或者用自动滤波器仪器的初始数据。其次一种情况是，轮廓长度通 常并没有足够的长度去捕捉形状，因此截止波长Acw的高通滤波器并没有用到。 最后一种状况是，在第5.2部分

10、已经有所提及，利用高斯低通和高通滤波器的互 补定义，可以用一个滤波器来评估粗糙度和波纹度（截止波长Ac的高通或者低通）。总的来说，粗糙度轮廓能够通过用一个截止波长为Ac的高通滤波器去过滤 原始轮廓来获得。波纹度轮廓与原始轮廓和粗糙度轮廓的区别是很简单的。在原 始轮廓上应用高斯低通滤波器Asw就以获得波纹度的表面轮廓。同样的这也是粗 糙度轮廓与波纹轮廓和原始轮廓之间的区别。无论怎么做，两者产生的结果是一 样的。5.4截止波长的影响当Ac增加，粗糙度轮廓的带宽将变大，因此应该增加振幅参数，例如Ra， 来计算粗糙度轮廓。另一方面，同样的截止波长将导致波纹度轮廓中的一些波长 被移除，作为这个结果应该在

11、计算波纹度轮廓时，减小振幅参数Wa5.5相位特性我们已经非常详细的研究了高斯滤波器的振幅传递特性，但是对于相位特性 我们还没有提及。高斯滤波器并不会使两个不同波长的正弦波产生相对的相位改 变。换句话说，每一个进入滤波器的正弦波形都会复现它进入时的相位特性，并 不会发生相位改变。这种相位不变的特性，也正是高斯滤波器的最大优点。5.6总结高斯滤波器可能是今天被用的最广泛的滤波器。我们本章复习了它的定义和 实现方法。我也讨论了高通和低通滤波器的定义。而且我们还讨论了高斯高通和 低通滤波器是如何互补的，因此用两个滤波器操作获得粗糙度和波纹度是多余的。 高斯滤波器的相位不变性，使得它的输出不会扭曲变形。

12、练习5.1通过对公式5.2的连续采样生成一个高斯低通滤波器曲线。假设 40.8mm, 采样间隔x = 1m。和图5.1 b对比两者相同吗？5.2生成一个如图5.2所示的图，假设轮廓长度是1,000mm，采样间隔为& = 1m， 截止波长参考图5.2所示。5.3写一个高斯函数文件myGaussian.m，调用该函数需要给两个参数 间隔和 截止波长（两者单位相同），然后函数产生一个高斯低通滤波器，这个高斯函数 是经过归一化的，为了使所有的权重统一。5.4用截止波长0.8mm的高斯低通滤波器滤波2mm波长振幅为1m的曲线气， 利用高斯滤波器的振幅传递曲线观察振幅衰减情况。采样间隔参数为* = 1m。

13、 用同样的滤波器滤波0.5mm波长振幅为0.5m的曲线z2,观察其振幅衰减状况。5.5根据练习5.4和已知高斯滤波器的相位特性，计算并绘制滤波输出，高斯滤 波器的滤波轮廓为练习5.4讨论的两个正弦波之和。5.6用空间卷积验证练习5.4的结果。并用5.3制作的高斯滤波函数生成这个滤波 器。5.7用频域积分验证练习5.4的结果。为了这个窗口能均匀排放这8000长度的数 组，需要在高斯滤波器的空间域填补零点。然后对滤波器和轮廓执行DFTs，进 行逐项积分。用反向DFT进行评估并提取相关部分补偿相位（看4.6的例子）。 这个波纹度轮廓一定是和5.5与5.6中产生的轮廓相同，除了在边缘上可能有少 许差别

14、。5.8用空间卷积方法过滤练习3.1中的轮廓z，用三种不同截止波长的低通高斯滤 波器，分别是0.5mm,0.8mm和2mm。从波纹度轮廓w上截取截止长度的一半。 计算波纹度轮廓w中的 阳。其中Wa被定义为*Q = m1，w（i）是波纹度数 组的第i个元素，n是数组w的长度。随着截止波长的增加是Wa增加还是减小， 为什么？参考文献美国机械工程协会2002ASME B46.1-2002，表面纹理（表面粗糙度，波纹度和花 纹）,ASME .美国.纽约国际标准化组织1996,ISO11562:1996,几何产品规格（GPS）-表面纹理：轮廓方式 -滤波器相位调整特性ISO,瑞士,日内瓦第6章2RC滤波

15、器6.1引言最早用于表面测量的滤波器是2RC滤波器。这种滤波器早期由硬件构成， 现在已经可以方便使用软件执行。2RC滤波器并不是一个线性相位的滤波器，并 且对粗糙度和波纹度两个滤波器需要区分来看待。尽管2RC滤波器很早就被应 用于表面轮廓滤波，但是却在高斯滤波器之后来讨论它，是因为这种滤波器在执 行时更具有挑战性的问题存在。ASME B46.1标准(美国机械工程协会2002)对 2RC滤波器有所提及，但是国际标准中并没有涉及该滤波器。6.2 2RC高通滤波器从历史上来看，2RC滤波器仅仅被用于从原始轮廓中提取粗错度轮廓，因此 文献报道中一般仅提供了 2RC的粗糙度滤波器的权重函数。为了获取表面的波 纹的轮廓，需要一个单独的波纹度权重函数(看练习6.1)。高通粗糙度滤波器的 权重函数如下：S(x) =&(2 -Aki)exp(-A 垃)6.1AcAcAc其中A=3.64, x是权重函数距离原点的位置，h是粗糙度长波的截止波长。 高通滤波器的传递特性可以通过对其连续传递函数S3)做傅里叶变换可以获得：Sf(A) = (1-jk)-26.2Ac其中k= 并且/ = 7-1。等式6.1的权重函数是很重要的。权重函数提 供了一个轮廓的高频组成部分，但是空间卷积也是很重要的，它是一个平均处理 的过程。对等式6