1986 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分30 分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ B ）（A） 2(cosi sin)（B） 2(cosi sin )4444（C） 2(sini cos)Di cos )（ ） 2(sin4444（2）函数 y5x1的反函数是（ C ）（A） ylog 5 (x 1)（B） ylog x 51（C）ylog5(x1)（ ）log ( x 1)5D y（ 3）已知全集 I={1 ，2，3，4，5，6，7，8} ，A={3，4，5} ，B={1，3，6} ，那么集合 {2 ，7，8} 是 （ D ）（A）A∪B（B）A∩B（C） A∪ B（D）A ∩ B（4）函数y2 sin 2x cos2 x是（ A ）（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数22（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数44（5）已知c<0，在下列不等式中成立的一个是（ C ）（A) c2c(B)c ( 1 )c2(C)2c( 1) c2(D)2c(1 ) c2（6）给出20 个数：（ B ）87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 它们的和是（A）1789 （B）1799 （C）1879 （D）1899(7) 已知某正方体对角线长为 a，那么，这个正方体的全面积是 ( B )（A） 2 2a 2（ ） 2a 2（ ） 2 3a2（ ） 3 2a 2BCD2222＞0)所表示的曲线关于直线（8）如果方程 x +y+Dx+Ey+F=0(D+E-4Fy=x 对称，那么必有（ A ）（A）D=E（B）D=F（C）E=F（D）D=E=F（9）设甲是乙的充分条件， 乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ）（A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件（ 10）在下列各图中， y=ax2+bx 与 y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是（ D ）（A） （B） （ C） （D）Y Y Y YO O XXO X O X二．（本题满分 24 分）（1）求方程25( x2x 0.5)45的解答： x11 , x23 . （注：仅写出其中一个解的，给2 分）22（2）已知13i , 求21 的值2答： 0（ 3）在 xoy 平面上，四边形 ABCD的四个顶点坐标依次为（ 0，0）、（ 1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积答： 253（4）求 lim2n22n7 .n5n4答： 251（5）求(2x35展开式中的常数项x2)答： -40（6）求椭圆 x2y21 有公共焦点，且离心率为5 的双曲线方程942答： x2y 21.4三．（本题满分 10 分）如图，AB是圆 O的直径， PA垂直于圆 O所在的平面， C 是圆周上不同于 A、B 的任一点，求证：平面 PAC垂直于平面 PBC证：设圆 O 所在平面为 α，由已知条P件，PA⊥平面 α，又 BC在平面 α内，因此 PA⊥BCCA O B因为∠ BCA是直角，因此 BC⊥AC而 PA与 AC是△ PAC所在平面内的相交直线 ，因此 BC⊥△PAC所在平面，从而证得，△PBC所在平面与△ PAC所在平面垂直四．（本题满分 10 分）求满足方程 | Z 3 3i | 3 的辐角主值最小的复数 Z .解：满足方程 | Z 3 3i | 3 的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心 A 对应的复Y43数为 3 3i ，半径为 3 ，因而圆与 xP2轴相切于点 Q，点 Q对应的复数是 -3A1从点 O作圆的另一条切线 OP，P 为切Q-4 -3-2 -1OX点，则点 P 所对应的复数为所求的复数∵ 3 3i 2 3(cos150 i sin150 ),00∠设点 B 对应的复数为 1，∴∠ BOA=150，|OA|= 23 ，∠ QOA=180-0BOA=30∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线， A 是圆心，00∴∠ AOP=∠QOA=30，∠ QOP=2∠QOA=60，0033.∠BOP=180-∠QOP=120，|OP|=|OA|cos ∠AOP=2 32∴所求的复数 Z=3(cos120i sin120 ) 3( 13 i )333i .2222五．（本题满分 12 分）已知抛物线 y2=x+1，定点 A（3，1），B 为抛物线上任意一点，点P段 AB上，且有 BP:PA=1:2，当点 B 在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线解：设点 B 的坐标（ X,Y) ，点 P 的坐标为（ x,y) ，则X132 X3Y112Y 1x2, y213131122X3( x1), (1)Y1 (3 y1),( 2)22点P在抛物线上 , Y 2 X 1,将 (1), (2)代入此方程 ,得1 (3y21)3 (x1)122化简得 3 y 22y2x10,即 x3y 2y1,22YB· PAO X因此轨迹为抛物线六．（本题满分 10 分）甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁两个公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式略解：共有： C83 C51 C42 C22 1680 （种）（注：原解答要求分步说明，直接给出上式只给8 分）七．（本题满分 12 分）已知 sinA+sin3A+sin5A= a ,cosA+cos3A+cos5A=b.求证：（1）当 b≠时， tg3A= a .b(2) (1 2 cos2 A) 2 a2 b2 .证：由已知 sinA+sin3A+sin5A= a , 利用和差化积公式得2sin3Acos2A+sin3A= a , ∴sin3A(1+2cos2A)= a , ①又由已知 cosA+cos3A+cos5A=b，利用和差化积公式得2cos3Acos2A+cos3A=b, ∴cos3A(1+2cos2A)=b, ②当 b≠时，①÷②得 sin 3Aa , 从而证得 tg3A= a .cos3Abb又① 2+②2 得sin 23A(1+2cos2A)2 +cos23A(1+2cos2A)2=a 2+b2,∴ (1+2cos2A) 2(sin 23A+ cos 23A)= a 2+b2,∴ (1 2 cos2 A)2 a 2 b2 .八．（本题满分12 分）已知数列 {a n},其中 a1413,且当 ≥3时，, a239n1 (an 1anan 1an 2 ).3（1）求数列 { a n} 的通项公式（2）求 lim an .。