《高考理科数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题(2)理解数形结合的思想(3)了解圆锥曲线的简单应用2定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题3存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题知识点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a
2、0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；b0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_解析：则由题意得解得椭圆C的方程为1.答案：14已知抛物线yax2的焦点到准线的距离为2，则直线yx1截抛物线所得的弦长等于_解析：由题设p2，a.抛物线方程为yx2，焦点为F(0,1)，准线为y1.直线过焦点F，联立消去x，整理得y26y10，y1y26，所得弦|AB|AF|BF|y11y218.答案：8考点一直线与圆锥曲线的位置关系|1(2016兰州检测)若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则
3、过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个B2C1 D0解析：直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，2，m2n24.1m21，点(m，n)在椭圆1的内部，过点(m，n)的直线与椭圆1的交点有2个，故选B.答案：B2若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.B.C. D.解析：由得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得kb0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且0，O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2
4、)当，且满足时，求弦长|AB|的取值范围解(1)依题意，可知PF1F1F2，c1，1，a2b2c2，解得a22，b21，c21.椭圆的方程为y21.(2)直线l：ykxm与O：x2y21相切，则1，即m2k21，由得(12k2)x24kmx2m220，直线l与椭圆交于不同的两点A，B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)0k20k0，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，x1x2y1y2，k21，|AB|2设uk4k2，则u2，|AB|22，u，|AB|(u)在上单调递增，|AB|.解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的
5、情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用已知抛物线y28x的焦点为F，直线yk(x2)与此抛物线相交于P，Q两点，则()A.B1C2 D4解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|PF|x12，|QF|x22，则，联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故.故选A.答案：A考点三中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点归纳起来常见的探究角度有：1由中点弦确定直线方程2由中点弦确定曲线方程3由中点弦解决对称问题探究一由中点弦确定直线方程1已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得
6、的线段的中点，则l的方程是_解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.答案：x2y80探究二由中点弦确定曲线方程2过点M(2，2p)作抛物线x22py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为_解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y，切线MA的方程是yy1(xx1)，即yx.又点M(2，2p)位于直线MA上，于是有2p2，即x4x14p20；同理有x4x24p20，因此x1，x2是方程x24x4p20的两根，则x1x2
7、4，x1x24p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1y212，即12，12，解得p1或p2.答案：x22y或x24y探究三由中点弦解决对称问题3已知双曲线1(a，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线yax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，则m的值为()A.B.C2 D3解析：由双曲线的定义知2a4，得a2，所以抛物线的方程为y2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x1b0)的一个顶点与抛物线C：x24y的焦点重合，F1，F
8、2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)若2，求直线l的方程；(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定值思维点拨(1)待定系数法求a，b.(2)注意判断l的斜率是否存在(3)利用弦长公式表示出|AB|，|MN|后整体变形得结论解(1)椭圆的顶点为(0，)，即b，e，a2，椭圆的标准方程为1.(2)由题可知，直线l与椭圆必相交当直线斜率不存在时，经检验不合题意当斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，x
9、1x2y1y2x1x2k2x1x2(x1x2)1k22，解得k，故直线l的方程为y(x1)或y(x1)(3)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得|MN|x1x2|，由消去y并整理得x2，|AB|x3x4|4，4，为定值方法点评对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A组考点能力演练1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1B2C1或2 D0解析：因为直线yx3与双曲线的
10、渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点答案：A2(2016福州质检)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2 By22xCx22y Dy22x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则两式相减可得2p(y1y2)kAB22，即可得p1，抛物线C的方程为y22x，故选B.答案：B3已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A. B(，)C. D，解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：
