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1、2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数是纯虚数，则的值为（ ）ABCD3已知，则下列选项正确的
2、是（ ）ABCD4已知函数，则的图象大致为（）ABCD5在中，为上一点，是的中点，若，则（ ）ABCD6已知数列满足，若，则数列的通项（ ）ABCD7已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD8已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A3B4C5D69如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为ABCD10已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四
3、个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若， ，则以下结论正确的是A中至少有一个为正数 B中至少有一个为负数C中至多有一个为正数 D中至多有一个为负数11已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如219，则（）129，D（）921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b的值为（ ）A7
4、92B693C594D49512如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数，则_14已知随机变量服从正态分布，若，则_15已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是_.16四面体中，底面，则四面体的外接球的表面积为_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知
5、数列的前项和，数列满足.（）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.18（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102
6、015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.20（本小题满分12分）已知是抛物线上不同两点.（1）设直线与轴交于点，若两点所在的直线方程为，且直线恰好平分，求抛物线的标准方程.（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且，是否存在直线，使得？若存
7、在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21（本小题满分12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长23（本
8、小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，设函数，（I）若，求不等式的解集；（II）若函数的最小值为，证明：（）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为 ,，所以 .故选D.2已知复数是纯虚数，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】是纯虚数，解得：本题正确选项：3已知，则下列选项正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】，60，a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较设f（x），则f（x），当xe时，f（x）0，当xe时，f（x）0，当0xe时，f（x）0f（x）在（e，+）上
9、，f（x）单调递减，e34，bca，故选：D4已知函数，则的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】由于，排除B选项.由于，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.5在中，为上一点，是的中点，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】，因为是的中点， 所以，解得 ，.故选B.6已知数列满足，若，则数列的通项（ ）ABCD【答案】B【解析】 , ,则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法， ， ，则.选B.7已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得，得，故，因为，所以.由，得，因为，故，所以，从而当时，令
10、，则由题意得在上有唯一解，故由正弦函数图象可得或，解得.故选D8已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A3B4C5D6【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线：，圆的圆心为，半径，过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，则，当三点共线时取最小值，即有取得最小值4，故选B9如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为ABCD【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域
11、依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选D10已知两个半径不等的圆盘
12、叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若， ，则以下结论正确的是A中至少有一个为正数 B中至少有一个为负数C中至多有一个为正数 D中至多有一个为负数【答案】A【解析】根据题意可知：（）0,又（）去掉括号即得：（）=0,所以可知中至少有一个为正数，故选A11已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从
13、小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如219，则（）129，D（）921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b的值为（ ）A792B693C594D495【答案】D【解析】试题分析：A，如果输出的值为792，则 ，不满足题意B，如果输出的值为693，则，不满足题意C，如果输出的值为594，则，不满足题意D，如果输出的值为495，则，满足题意故选D12如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】连接EF，因为EF/面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH/BC交CD于点G,交AB于H点，则GH/EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱为，三棱柱EBH-FCG为，设M点为的任一点，过M点作底面的垂线，垂足为N，连接,则即为与平面所成的角，所以=，因为sin=,要使的正弦最大，必须MN最大，最小，当点M与点H重合时符合题意，故sin的最大值为=,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数，则_【答案】【解析】因为，且，则.故答案
