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1、用导数处理实际问题中的最优化问题适用学科数学适用年级高三适用区域北京人教课时时长（分钟）60知识点用导数处理实际问题中的最优化问题教学目标1进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程一、复习预习复习1：函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_ 复习2：函数在上的最大值为_；最小值为_. 二、知识讲解创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优
2、化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路
3、：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案考点/易错点1注意实际问题中的定义域 将实际问题抽象成数学问题之后，往往容易忽略函数的定义域，比如实际问题的人数必须是正整数等等。三、例题精析【例题1】【题干】汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？【答案】因为 这样，问题就转化为求的最小值从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率进一步发现，当
4、直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为90因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L【解析】研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单
5、位：km/h）之间有如图所示的函数关系从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题【例题2】【题干】磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之
6、间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域（1） 是不是越小，磁盘的存储量越大？（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？【答案】（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大（2）时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为【解析】由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数。 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为
7、获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量（1） 它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大（2） 为求的最大值，计算令，解得当时，；当时，因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为【例题3】【题干】饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：
8、（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【答案】（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为cm时，利润最大【解析】由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是 令 解得 （舍去）当时，；当时，当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低（1） 半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2） 半径为cm时，利润最大四、课堂运用【基础】1. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的
9、函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件答案：C解析：令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。 【巩固】1. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.答案与解析：【拔高】课程小结1利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案2解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。课后作业（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）【基础】1.2.【巩固】1.2.【拔高】1.2.课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）
