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1、绪 论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本现代控制理论习题集（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分12道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论
2、的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！这本书是由11级自动化二班现代控制理论授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初
3、步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，
4、输出量有电路原理可知： 既得 写成矢量矩阵形式为：1-3 有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.K1K2B2f1(t)M1 M2B1y2 c2 y1 c1 f2(t) 解:以弹簧的伸长度y1，y2 质量块M1， M2的速率c1，c2作为状态变量即 x1=y1，x2=y2，x3=c1，x4=c2根据牛顿定律，对M1有：M1=f1-k1(y1-y2)-B1(c1-c2)对M2有：M2=f2+k1(y1-y2)+B1(c1-c2)-k2y2-B2c2将x1,x2,x3,x4代入上面两个式子，得 M1=f1-k1(x1-x2)
5、-B1(x3-x4)M2=f2+k1(x1-x2)+B1(x3-x4)-k2x2-B2x4整理得 =x3 =x4 =f1-x1+x2-x3+x4 =f2+x1-x2+x3-x4输出状态空间表达式为 y1=c1=x3 y2=c2=x41-4 两输入，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。(1) 解:由微分方程得：系统的传递函数为W（s）=则状态空间表达式为：相应的模拟结构图如下：x1X2U72513y(2) 解：由微分方程得：系统
6、的传递函数为W（s）=则状态空间表达式为：相应的模拟结构图如下： 1-6 已知系统传递函数(1)(2),试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：(1)由 可得到系统表达式为 X1X2X3 (2) yX1X2X3X4u 1-7 给定下列状态空间表达式 （1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数 解： (2) 1-8 求下列矩阵的特征矢量：（1） A=解：A的特征方程：=0解之得：=-2+j，=-2-j;当=-2+j时，=（-2+j)解得：=-j,令=1，得=； 当=-2-j时，=（-2-j)解得：=-j,令=1，得=（2）A=解：A的特征方程：=0解之得：=-2，=-3;当
7、=-2时，=-2解得：=-2,令=1，得=； 当=-3时，=-3解得：=-3,令=1，得=（3）解：A的特征方程 解之得：当时，解得： 令 得 （或令，得）当时， 解得： 令 得 （或令，得）当时，解得： 令 得 （4）解：A的特征方程 解之得：当时，解得： 令 得 当时， 解得： 令 得 当时，解得： 令 得 1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。 （1） =+u y=x解：A的特征方程=0解得=-1或=-3当=-1时，=-解之得P11=P21,令P11=1，得P1=当=-3时=-3解之得P21=-P22，令P21=1，得P2=故T=,=,则=,=,CT=,故约旦标准型为=Z ， y
8、=Z（2） =+u=解：A的特征方程=0解得=3 ， =1当=3时特征向量：=3解之得P12=P21=P31，令P11=1，得P1=当2=3时的广义特征向量，=3+解之得P12=P22+1， P22=P32， 令P12=1，得P2=当=1时 =解之得P13=0，P23=2P33， 令P33=1，的P3=故T=， = AT= B= CT=故约旦标准型为=X+uY=X110.已知两子系统的传递函数阵和分别为：= =试求两子系统串联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果。解：两子系统串联联接时，系统的传递函数阵W(s)=,得W(s)=两子系统并联联接时，系统的传递函数阵W(s)=+,得W(s)=+=
9、串联联接时，由于前一环节的输出为后一环节的输入，串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。 并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。1-11 已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数阵。解：1-12 已知差分方程为：试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 解：由差分方程得传递函数化为并联型： 化为能控标准型： 第二章 控制系统状态空间表达式的解2-1 试证明同维方阵A和B，当AB=BA时，=，而当ABBA时，。证明：由矩阵指数函数=可得：= = =
10、= 将以上两个式子相减，得：-=显然，只有当时，才有-=0，即=；否则。2-2 试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式（2.17），式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。证明：（1）式（2.17）由矩阵指数函数=可得： = =即得证。（2）式（2.18）由矩阵指数函数=可知，若存在非奇异变换阵，使得，则，且是特征根可知=即得证。（3）式（2.19）若为约旦矩阵，= 由矩阵指数函数= ，则= ，=，将以上所求得的、代入式，令=，则第块的状态转移矩阵：=，即得证。（4）式（2.20）拉式反变换法证明：由，得：，=则状态转移矩阵为：= 由欧拉公式得：= 即得证。2-3 已知矩阵
11、A=试用拉氏反变换法求。（与例2-3、例2-7的结果验证）解：由=转化成部分分式为： = 又由拉氏反变换得：=2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。（1）A=（2）A=解：（1）方法一：约旦标准型由A=，令=0， 即 ，得，解得= ，由可得当时，设=由，得，解得即当时，设=由，得，解得即变换矩阵,则，矩阵指数函数= =方法二定义法由已知 得 方法三：凯莱-哈密顿定理由A=，令=0， 即 ，得，解得：特征根= ，则= = = 则，矩阵指数函数= + =（2）方法一：约旦标准型由A=，令=0， 即 ，得，解得= ，由可得当时，设=由，得，解得即当时，设=由，得，解得即变换矩阵,则，矩阵指数函数=
12、 =方法二：拉式反变换法由=，得：=则，矩阵指数函数=方法三：凯莱-哈密顿定理由A=，令=0， 即 ，得，解得= ，则= = = 则，矩阵指数函数= + =2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。（1）=（2）=（3）= （4）解：(1)因为，所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件（2）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件则（3）因为 ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件则（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件则2-6 求下列状态空间表达式的解：= 初始状态，输出是单位阶跃函数。解：系统矩阵: 特征多项式为:因为 ，所以 2-7 试证明本章2.3节，在特定控制作用下，状态方程式（2.25）的解、式（2.30）、式（2.31）和式（2.32）成立。证明：（1）采用类似标量微分方程求解的方法，则有： 等式两边同乘，得： 即
