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1、极坐标与参数方程一、极坐标1极坐标系的概念在平面上取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做_；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个_设是平面上任一点，极点与点的距离叫做点的_，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的_，记为.有序数对(叫做点的_，记作(2极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标为，则它们之间的关系为_，_.另一种关系为：_，_.3简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程，并
2、且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的_(2)常见曲线的极坐标方程圆的极坐标方程：圆心在极点，半径为的圆 ；圆心在半径为的圆 ；圆心在 半径为的圆 .直线的极坐标方程：过极点且与极轴成角的直线 ；过且垂直于极轴的直线 ；过 且平行于极轴的直线 .【例1.1】完成下列表格中直角坐标与极坐标的互化：点变换方程变换序号直角坐标极坐标序号直角坐标方程极坐标方程112233445566778899101011111212【例1.2】在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.【1.3】圆和圆的极坐标方程分别为（）判断直线与圆的位置关系；（）过圆圆圆心,且垂直于极轴的直线
3、的极坐标方程；（III）求经过圆和圆交点的直线的直角坐标方程【变式训练1】1(2010北京)极坐标方程表示的图形是()两个圆 两条直线 一个圆和一条射线 一条直线和一条射线2.在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .3.曲线C的直角坐标方程为,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线C的极坐标方程为_.4. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为_ .6. 在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .7. 在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是 .8. 在直角坐标系中，原点为极点，以轴正半轴为极轴建立坐标系曲线的极坐标方程为，分别为与x轴，y轴的交点(
4、1)写出的直角坐标方程，并求的极坐标；(2)设的中点为，求直线的极坐标方程9. 在极坐标系下，已知圆：和直线.(1)求圆和直线l的直角坐标方程；(2)当)时，求直线与圆公共点的一个极坐标10.已知、为椭圆上动点，且（为坐标原点），求证：（1）为定值；（2）到直线的距离为定值.二、参数方程1. 参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，叫做参数.说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义；（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方
5、程形式也不一样；（3）在实际问题中要确定参数的取值范围； （4）参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点的横坐标和纵坐标.2. 圆锥曲线的普通方程及参数方程：普 通 方 程参数方程及圆圆心在原点，半径为圆心为，半径为椭圆双曲线抛物线3直线的参数方程：过定点，且倾斜角为的直线的参数方程：【例2.1】将下列参数方程化为普通方程，并指出该曲线的类型.(1) (2) （） (3) （为参数） （4） （为参数）（5）（为参数） (6) （为参数） 【例2.2】方程
6、(为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是一个定点 一个椭圆 一条抛物线 一条直线【例2.3】已知曲线的参数方程是 (为参数)（1）判断点与曲线的位置关系；（2）已知点在曲线上，求的值和对应的参数.【例2.3】在直角坐标系中,以原点O为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线(为参数)相交于两点,则线段的中点的直角坐标为_ _.【变式训练2】1.方程 （为参数） 表示的曲线一条直线两条射线 一条线段 抛物线的一部分2.下列方程中，与方程表示同一曲线的是（为参数） （为参数） （为参数 （为参数）3下列哪个点在曲线上（ ） 4方程表示的曲线是（ ）余弦曲线 与轴平行的线段 直线 与轴平行
7、的线段5曲线的普通方程为 .6.点在圆上运动,则点的轨迹方程 .7.在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为(为参数)和(为参数),则曲线与的交点坐标为_ _.8.在直角坐标系 中,已知曲线: (为参数)与曲线 :(为参数,) 有一个公共点在轴上,则 .9.已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则=_ _.10.已知曲线C1的参数方程是 (为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是.正方形的顶点都在C2上，且以逆时针次序排列，点的极坐标为(2，)(1)求点 的直角坐标；(2)设为C1上任意一点，求|的取值范围.【例
8、3.1】直线（为参数）与曲线交于两点，对应的参数分别为，则 ；设，则 ；线段的中点对应的参数的值为 .【例3.2】在直角坐标系xOy中，圆的参数方程为(为参数），直线经过点，倾斜角，若直线与圆交于两点.（1）写出圆的普通方程和直线的参数方程；（2）求弦的长度；(3）求的值【例3.3】已知直线：（为参数，倾斜角为），若过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.【变式训练3】1 (为参数)的倾斜角是 2.在直角坐标中，圆，圆. (1)在以为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆的公
9、共弦的参数方程.3.曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若两曲线交于两点.（1）求的值；（2）求点到两点的距离之积.4.在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).在极坐标系中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点.若点的坐标为，求.【例4】在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值【变式训练4及综合】1.已知曲线上的任意一点，则（1）的最大值 ；（2）的最大值为 .2.
10、已知椭圆上任意点，则到直线的最大距离为 ；相应的坐标为 .3.直线：(为参数)与圆：（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同）截得的弦长为，则实数 .4.已知抛物线的参数方程为(为参数)，其中，焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，点的横坐标是，则 .5. 设点分别在曲线和曲线，则的最小值为 .6.在平面直角坐标系中,以坐标原点为几点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线上两点的极坐标分别为,圆的参数方程(为参数).(1)设为线段的中点,求直线的平面直角坐标方程;(2)判断直线与圆的位置关系.7.直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为，直线的方程为（t为参数），直线与曲线C的公共点为T.（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线被曲线C截得的线段长为2，求直线的极坐标方程.8.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），为上的动点， 点满足，点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求. 5 / 12
