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1、福建师范大学21秋近世代数综合测试题库答案参考1. 设为可逆方阵A的一个特征值，则(A)2+E必有一个特征值为_.设为可逆方阵A的一个特征值，则(A)2+E必有一个特征值为_.2. 已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_正确答案：应填3分析向量组的秩小于向量的个数时，可用行列式为0或初等行变换来讨论详解1由于r(1，2，3)2，则矩阵的任一个三阶子阵的行列式的值为零，即解得t3详解2r(1，2，3)2t25，即t3评注反求参数，一般均可联想到某行列式为零
2、，但初等行变换对于具体的向量组始终是一个有力的工具3. 已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P-1X1)=_已知连续型随机变量X的概率密度为则概率P-1X1)=_1-e-10.6321根据计算概率公式，因此概率 P-1X1 =1-e-10.6321 于是应将“1-e-10.6321”直接填在空内 4. 某大学数学测验，抽得20个学生的分数平均数某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为003升，在a某特殊润滑油容器的容量为正态分布，其方差为003升，在a=001的显著性水平下，抽取样本10个，测得样本标准差为s=0246，检验假设： H0：2=003，H1：2003正确答案：设总体X为润滑
3、油容器的容量则XN(2)02=003n=10a=001s=0246用2的检验法检验H0=2=02=003H1：202拒绝域为W=2a222(n一1)U2a22(n一1)查2分布表得0.0052(9)=235890.9952(9)=1735计算2值由于1735181523589故接受H0即2=003设总体X为润滑油容器的容量,则XN(,2),02=003,n=10,a=001,s=0246用2的检验法,检验H0=2=02=003,H1：202,拒绝域为W=2a22,2(n一1)U2a22(n一1)查2分布表得0.0052(9)=23589,0.9952(9)=1735计算2值由于17351815
4、23589,故接受H0,即2=0035. 写出下列线性规划问题的对偶问题： max f=-17x2+83x4-8x5， s.t.-x1-13x2+45x3+16x5-7x6107, 3x3-18x4+30写出下列线性规划问题的对偶问题：max f=-17x2+83x4-8x5，s.t.-x1-13x2+45x3+16x5-7x6107,3x3-18x4+30x781，4x1-5x3+x6=-13,-10x1-2,-3x217,x316,x40,x5无符号限制，x60，x70按规则写出对偶问题后稍加简化可得 max st (i=2,4,5,6,7,8) 6. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L
5、的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：7. 比较下列各题中的两个积分的大小：比较下列各题中的两个积分的大小：因为0x1，所以x2x4(“=”成立的z只有有限个)，又因为x2，x4是连续函数，故01x2dx01x4dx,即I1I2$因为1x2，所以x2x4(“=”成立的x只有有限个)，且x2，x4是连续函数，所以12x2dx
6、12x4dx,即I1I2$因为3x4，所以Inx1，所以Inx(Inx)3，且Inx，(Inx)3是连续函数，所以34lnxdx34(1nx)3dx，即I1I2$设f(x)=ln(1+x)-x，则(0x1)，故当0xl时，f(x)单调递减，故f(x)f(0)=0，即ln(1+x)x(0x1)，所以01In(1+x)dx01xdx故I1I2$由于x0时，1n(1+x)x，所以1+xex，因此I1I28. 设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7
7、设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7)T，y0=(0，1)T。求由向量方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=g(x)在x0处的导数，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2)T由于题中的向量方程f(x，y)=0是由两个五元方程f1(x1，x2，x3，y1，y2)=0与f2(x1，x2，x3，y1，y2)=0构成的方程组，其中的5个变量是x1，x2，x3，y1，y2，因此能确定两个三元函数。由题意，它们就是y1=g1(x1，x2，x
8、3)，y2=g2(x1，x2，x3)。容易验证，f1与2满足隐函数存在定理的条件(1)，(2)(读者自 所以能在(x0，y0)T的某邻域内唯一确定两个单值的有连续偏导数的三元函数y1=g1(x1，x1，x3)与y2=g2(x1，x2，x3)，也就是以g1与g2为分量的向量值函数y=g(x)，要求的导数就是g在x0处的Jocobi矩阵 9. 一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘上恰有一个黑方格禁止放子，那么该棋盘有一个用多
9、米诺牌的完美覆盖。设禁止放子的黑方格位于第i行第j列上。下面分别就i与j的不同奇偶性情况进行讨论。 (1)i与j同为偶数或同为奇数。此时，将棋盘划分为如图7.14所示的区域A1(为i(j-1)的区域)、区域A2(为(m-i)j的区域)、区域A3(为(i-1)(n-j+1)的区域)、区域A4(为(m-i+1)(n-j)的区域)以及禁止放子的黑方格(图中阴影部分)。由于A1，A2，A3与A4无论i与j同为偶数还是同为奇数，总有偶数边长，故可知，它们都有完美覆盖。 (2)i与j为一奇一偶。此时，如果不要求白格与黑格的位置，则不一定存在完美覆盖，如在图7.15中，第1行中第2格是禁止放子的黑格。如果要
10、求棋盘行和列之间都是黑白格相间，则i与j的一奇一偶情况不会出现。事实上，不妨设i为奇，j为偶。由于黑格比白格多一个，故第1行上第1个格是黑格。则第i行第1个格是黑格，从而第i行上只有偶数列上方格是白格。 10. 设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，使f&39;()=0设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，使f()=0由于f(x)在a，b上可导，可知f(x)在a，b上必定连续,设在(a，b上f(x)0，则由定积分的不等式性质可知 与已知矛盾，这表明在(a，b上不可能总有f(x)0,相仿可证在(a，b
11、上不可能总有f(x)0,因此必定存在一点c(a，b，使 f(c)=0在a，c上对f(x)利用罗尔定理可知至少存在一点，使f()=0由于f(x)在a，b上可导，f(a)=0，如果能找到一点c(a，b，使f(c)=0，则利用罗尔定理可证所给命题,由(1)可知c必定存在 11. 向量组1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1)，ad=(1，24，t+9)线性相关，则t=_向量组1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1)，ad=(1，24，t+9)线性相关，则t=_正确答案：一1或一2【解法一】(t+1)(t+2)，t=一l或
12、t=一2时行列式为0【解法二】当t=一1或t=一2时，RB=34，即1，2，3，4线性相关12. 大炮以仰角、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线大炮以仰角、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线13. 证明以直线A1x+By+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能写成 (A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0.证明以直线A1x+By+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能写成(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0.证明 设以A1x+B1Y+C1=0为渐近线的二次曲线为 F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0.它的渐近
13、线为(x-x0，y-y)=0，其中(x，y)为曲线的中心，因为它是关于x-x，y-y的二次齐次式，所以它可以分解为两个一次式之积，从而有 (x-x0,y-y0)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)而(x-x0，y-y0)=a11(x-x0)2+2a12(x-x0) (y-y0)+a22(y-y0)2=a11x2+2a12xy+a22y2-2(a11x0+a12y0)x-2(a12x0+a22y0)y+a11x02+2a12x0y0+a22y02, 因为(x0，y0)为曲线的中心，所以有 a11x0+a12y0=-a13，a12x0+a22y0=-a23， 因此(x-x0，y-y0)=F
14、(x，y)+(x0，y0)-a33， 令(x0，y0)-a33=-D，代入上式就得 F(x,y)=(x-x0,y-y0)+D, 即F(x,y)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D,所以以A1x+B1y+C1=0为渐近的二次曲线可写成 (A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0. 14. 设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( ) (A) x=a是f(x)的极小值点 (B) x=a是f(x)的极大值点 (C) (a，f(a)为设f(x)的导数在x=a处连续，又，则()(A) x=a是f(x)的极小值点(B) x=a是f(x)的极大值点(C) (a，f(a)为f(x)的拐点(D) x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点B15. 二次积分02dyy4-yf(x，y)dx改变成先y后x的积分是_。二次
