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1、专题八 圆锥曲线求参数范围专题一、如何建立不等关系？（求参数范围的关键是建立不等关系）：1、 利用圆锥曲线的定义。如离心率的范围。5、转化为函数的值域或最值。二、类型与解题策略1、 单参数问题。如求参数m的范围，只要列出含m这一个参数的不等式（组）求解。2、 双参数问题。如求参数m的范围，需联系另一参数k，对策有(1)将m表示成k的函数：m=f(k),利用k的范围，求f(k)值域；(2)列出m、k混合的关系式（等式），再列出m、k受限条件（不等式），从等式中解出,代入不等式进而解出m的取值范围。3、 求与“比值”有关范围问题，常用：(1) 列齐次式的思想，如求离心率的范围可以列出含a、c的齐次
2、不等式；求的范围，有时可以用韦达定理求，变形即有。(2) 利用向量共线求比值范围。得到关于坐标的方程，变形后用韦达定理求解。三、例题：1、利用曲线的定义、标准方程和性质列不等关系例1、设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。求实数m的取值范围。 同型练习双曲线焦点距为2c，直线l过点（a,0）和(0,b)，且点（1，0）和（-1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。2、利用方程有实根的充要条件列不等关系例2、求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若r是第一象限内该数轴上的一点，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B
3、，且AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围. 同型练习3、利用点在曲线内的充要条件列不等关系例3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（）求椭圆C的方程;（）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。同型练习已知椭圆C：上存在关于直线对称的两点，试求m的取值范围。（利用点在圆锥曲线内的充要条件）4.转化为求函数的值域同型练习已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是（）求双曲线C的方程；（）
4、若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围5、利用双参数的混合关系式列等量与不等量关系例5（双参数且没有已知其中一个参数的范围）已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离和为定值，且的最小值为（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M（0，-1），若斜率为的直线l与P的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使。 同型练习设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点6、 与“比值”有关的求范围问题例6 已
5、知椭圆C的中心在原点，焦点在x 轴上，一条经过点且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又（1） 求直线l方程； （2）求椭圆长轴长的取值范围。同型练习巩固练习1.又曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.C.(3,+)D.2.已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）A. （，1）B. （，1）C. （1，2）D. （1，2）3.若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则
6、双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)4.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是CA B C D5.已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）ABCD6.设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）ABCD7.设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）AB C D8.双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为BA.（1，3） B.（1，3） C.（3，+）
7、 D. 3，+9.双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A B C D 10.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 CA B C D11.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】. 解法1，因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得则记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2 由解析1知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.12.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭
8、圆离心率的取值范围是_ 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而|FA| , |PF|ac,ac,于是ac,ac即acc2b2acc2, 又e(0,1),故e13.已知椭圆的两焦点为,点满足,则|+|的取值范围为_，直线与椭圆C的公共点个数_。【答案】【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为015、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的
9、方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为16、如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围. 解法一：()设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形
10、， 所以,即1 因此，椭圆方程为 ()设 ()当直线 AB与x轴重合时，()当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0, 解得a或a,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即1,解得a
11、或a.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b20时，不合题意；当a2- a2 b2+b2=0时，a=;当a
12、2- a2 b2+b20时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2（舍去），a，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.17.如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于，求直线斜率的取值范围.解：（）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为0，b0）.则由解得a2=b2=2, 曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.设E（x，y），F(x2,y2
