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1、定积分法求面积的探究教学系：专 业：年 级：姓 名：学 号：导师及职称：定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想 就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定 积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题 中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性， 我们就可以用函数的定积分来表 示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如 何灵活地运用定积分的定义及有关公式，巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为 求定积
2、分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策 略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性Research of square in defi nite in tegralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its applicati on, its thought is to cut and, un der differe nt coordi nate sys
3、tems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we
4、can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the defi nite in tegral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geome
5、try. How to flexibly use definite integral is defi ned and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivale nt transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, in troduces several common ly used tran sformati on method and soluti
6、 on strategy. I n order to fully reflect the comb in ati on of the mathematical thought and method.Keywords: defi nite in tegral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言 5二、相关概念 51.1 定积分的定义 51.2定积分的常用计算方法 51.2.1直接利用公式及性质计算 51.2.2利用定积分的区间可加性计算 2三、定积分在面积问题中的应用 23.1直角坐标系下求面积 23.1.1 平面面积 23.1.2 曲面面积
7、53.2 极坐标 63.3求旋转曲面的面积 7四、常见方法 104.1 巧选积分变量 104.2巧用对称性 114.3巧用分割计算 11五、结束语 12参考文献 13致谢 13、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图 形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题，在数学分析中占据了重要地位。利用定积分求平面图形的面积是一个重要应用，与实际联系紧密，有很好的实用性。我们 已经知道很多规则的平面图形的面积计算，如正方形、平行四边形、三角形、圆的面积 等等。可以发现这些规则图形一般都是“直边图形”，但平时我们在实际中还会遇到求 “曲边图形”的面积，那我们想到
8、了定积分。定积分的定义是前人用“逼近”的方法总 结归纳定义出来的，是受“以直代曲”的思想而启发的。也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得。利用定积分求含曲边的图形面积问题是在面 对在平面几何中难以用常规方法加以解决的问题而采用的。定积分知识的引入，为此类 问题的解决提供了强有力的工具，也充分体现了创新性及数形相结合的典型性。二、相关概念1.1定积分的定义一般地，如果有函数f(X)在区间a,b上连续，用分点a = X。：捲：x?疳：xi ：:时，上述 i=1i =1 nb和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间a,b上的定积分。记作a f(x)dx b错误！未
9、找到引用源。，即f f(x)dx=lim错误！未找到引用源。n b _aAf( J。这里，a和b分别叫做积分上限和积分下限，区间a,b叫做积分区间，i i n函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。1.2定积分的常用计算方法1.2.1直接利用公式及性质计算TL例 2.1 求 Jtan2 xdx分析被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换，先求出原函数再:tan2 xdx 二一2利用公式计算。sec x -1)dx = (tanx x) 4=1 01.2.2利用定积分的区间可加性计算-1 _ x ： 0 亠 20 兰 x2,求 L(x)dx分析这是一个分段函
10、数, 分区间考虑其计算。在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性-1221e -0 2- - 2 1解 f (x)dx =二(1+x)dx + ( exdx = (x+?x2)注意针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何 正确选择积分方法。第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分， 知道如何凑出中间变量的微分就可计算。1 例 2.3 求 o 1 - x2 dx分析 被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。解令 x = si nt, 1 -x2 二 cost,dx 二 costdt 当 x=0 时，t = 0，当 x =
11、1 时，t= 2102X02cos2tdt1 - 二=?02(1边2艸蔦三、定积分在面积问题中的应用在求区域的面积当中，由于围成区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲 线的形式分为多种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而定积分求面 积的具体用法通过下列问题分下面四种情况进行探讨。3.1直角坐标系下求面积3.1.1 平面面积般地，由上下两条连续曲线y二f2(x)与y= f1(x)以及两条直线x = b(a :：: b)所围成的平面图形(图3 1)，它的面积计算公式为：A = & f 2(X)- f1(x) dx(3-1)例3.1求两条曲线y 区域(图3 2)的面积。分析由图可
12、知选取对x2与x = y2围城的平面x积分，便于计算。解两条曲线的交点是(0,0)与(1,1)，则此区域的面积:30&X _x2)dx =(|x2 _x3)33例3.2抛物线y2 =2x把圆x2 y2 两部分，求(图3 4)中阴影部分的面积S.分析由*仃2；得交点坐标:x2 +y2 =8选取y为积分变量。二8分成(-2,2)，2 y2解 S = .,.8 y2 一专284W严透-严3总之，由函数y二f (x), y = g(x), x 二 a,x = b 围成的图形(其中 f (x) 一 g(x),a b)，选b取x为积分变量，则面积为 A二f(x)_g(x)dx ；由函数X hF：(y),
13、x jr(y)错误！未找a到引用源。,y =c, y =d围成的图形(其中(y)(y),c乞d，选取y为积分变量，则面d积为 A (y) - (y)dyc以上可简记为：“上减下，右减左，总之大减小, 积分小到大”。在平面图形的面积求解中，除了以上方法外，还可以运用二重积分，将面积问题转化为求二重积分值的问题。例3.3求由抛物线f,x)=x2与f2(x)=2-x2所围图形的面积。分析 设所围图形如(图3 3)面积为S.解方程组fl(x) =x 2，解得两曲线的 2(x) =2 -x2交点坐标为(-1,1)，(1,1).解图形面积为：1f2(x)122122 3 18S = JJdxdy =()dy = J,2 一 x2 x2)dx =(2 2x2)dx = (2x _ x3)=一D xy当曲线C是参数方程X二y = (t) () C) = b,则函数 x -G(t)存在反函数t=G(x),曲线C : y=G(x)、x轴和两条直线x = a,x = b所.aa彳q围成的区域面积：A = L | y dx二|(x) dx =命| (t )半(t) dtB= (t) t)dt(33)如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有 ()=(B),(0),且p pA =胪(t)dt ( 或 A= T(t)(t)dt )(34)在C，)内曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为：
